Engenharia civil

Função polinomial do 2 grau
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo: capítulo 8 - p. 88

Uma função polinomial do 2 grau é da forma f x  ax 2  bx  c com a, b e c números reais e a 0.
O domínio da função do 2 grau é R e o conjunto imagem depende da equação que a define. Veja alguns exemplos de função do 2 o grau: f x  x 2 , g x  2x 2

x  1, h x  x 2

3.

Observe que a equação que define a função (y  ax 2  bx  c) é do segundo grau.
Portanto, o gráfico de uma função do 2 grau é uma parábola.
Consideremos, por exemplo, a função do 2 grau mais simples: f x  x 2 e, para construir seu gráfico, vamos considerar alguns de seus pontos, atribuindo a x valores quaisquer. Veja a tabela com as coordenadas de alguns pontos escolhidos: x y  x2 4

2

10123
1

0149

Marcando esses pontos e, passando por eles, uma curva suave,obtemos a parábola que é gráfico da função.

y

12
10
8
6
4
2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

Uma parábola sempre é uma curva desse tipo e tem algumas características peculiares. 1) Uma característica que chama a atenção é a ”abertura” ou concavidade da curva que, nesse caso, é para cima.
A parábola que é gráfico da função f x  ax 2  bx  c
 é côncava para cima se a  0;
 é côncava para baixo se a  0.

1

2) No ponto 0, 0 o gráfico da f x  x 2 muda de comportamento: passa de decrescente para crescente; a parábola faz ali uma ”volta”. Esse ponto é chamado vértice da parábola. Se o ponto x v , y v é o vértice da parábola que é gráfico da função f x  ax 2  bx  c, então: 2 b 2 4. a. c
b b c  xv  b e yv  f xv  a b
4. a
2a
2a
2a
Se a parábola é côncava para cima, x v , y v é um ponto de mínimo e y v é o valor mínimo da função. Além disso, o conjunto imagem da função é o intervalo y v ; Ý . Se a parábola é côncava para baixo, x v , y v é um ponto de máximo e y v é o valor máximo da função. Além disso, o conjunto imagem da função é o intervalo Ý; y