Energia

Demonstração: Caso Particular, Força Constante
Esta demonstração do teorema trabalho-energia é uma das mais belas da mecânica clássica. Para demonstrá-lo, partimos das definições de velocidade e aceleração e usamos a segunda lei de Newton para, por fim, usar as definições de trabalho e energia cinética.
A demonstração assume que o corpo está em movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), ou seja, que sua aceleração linear é constante. Do ponto de vista da dinâmica, isto equivale a dizer que a força que realiza trabalho sobre o corpo também é constante. Para facilitar a demonstração, vamos representar as grandezas vetoriais deslocamento, velocidade, aceleração e força na suas formas escalares. Isto é possível com uma escolha adequada de um referencial inercial, por exemplo: se alinharmos o eixo-x do referencial à direção do movimento do corpo. A demonstração também assume que o corpo se comporta como uma partícula e, por conveniência, vamos assumir que o instante inicial do movimento, , é zero, , e que o instante final, é .
Definição de velocidade linear, :

onde, é a posição do corpo em função do tempo, .
Partindo da definição de aceleração linear, ,
,
temos que
,
com . Integrando ambos os lados da equação:

Esta é uma das equações cinemáticas do MRUV. Isolando o tempo:

Uma segunda equação cinemática é obtida resolvendo a equação diferencial, :

Aplicando Baskhara para resolver a equação de segundo grau acima, temos:

Igualando a equação acima com aquela obtida no passo anterior,

Elevando ambos os lados da equação acima ao quadrado:

Escrevendo o deslocamento como

Introduzindo conceitos da dinâmica.
Até aqui, utilizamos apenas conceitos cinemáticos, como deslocamento, velocidade, aceleração e tempo. A partir deste passo, vamos introduzir conceitos da dinâmica: massa, força, trabalho e energia cinética. Multiplicando todos os termos da equação acima pela massa, , do corpo:

Pela segunda lei de Newton, , donde