EDO

Páginas: 5 (1191 palavras) Publicado: 6 de junho de 2015
INTRODUÇÃO
Este trabalho consiste de um estudo de equações diferenciais ordinárias e de seus métodos de determinação de suas soluções. É bem conhecido que muitos fenômenos que interessam às Engenharias e outras ciências podem ser estudadas através de modelos matemáticos nos quais aparecem de modo importante equações ordinárias. 

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

As equações diferenciaisordinárias apareceram de forma natural com os métodos do Cálculo Diferencial e Integral, descobertos por Newton e Leibnitz no final do século XVII, e se converteram na linguagem pela qual muitas das leis, em diferentes ramos da Ciência, se expressam. Assim, as equações diferenciais ordinárias modelam fenômenos que ocorrem na Física, Biologia, Economia e na própria Matemática.

Uma Equação DiferencialOrdinária (EDO) de primeira ordem contém somente
derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável independente e podem ser classificadas quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.

A Ordem: é a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.

Equação diferencial de primeira ordem é da forma:



Se g(x) é uma função continuadada, então a equação de primeira ordem do tipo :

Pode ser resolvida por integração. Sendo assim, solução é











Aplicações

Decaimento radioativo

Resultados experimentais mostram que elementos radioativos desintegram a uma taxa proporcional à quantidade presente do elemento. Se Q = Q(t) é a quantidade presente de certo elemento radioativo no instante t, então a taxa de variação de Q(t)com respeito ao tempo t, denotada por dQ/dt, é dada por:

dQ/dt = - k Q(t)

Onde k é uma constante que depende do elemento.

Por exemplo, para o carbono-14 o valor aproximado é k = 1,244×10-4, para o rádio o valor aproximado é k = 1,4×10-11.

O valor da constante k de um elemento radioativo pode ser determinado através do tempo de "meia-vida" do elemento. A "meia-vida" é o tempo necessário paradesintegrar metade da quantidade do elemento. Portanto, se a meia-vida do elemento for conhecida, a constante k pode ser obtida e vice-versa.

Exemplo 1 das Aplicações

Um isótopo radioativo tem uma meia-vida de 16 dias. Você deseja ter 30 g do isótopo no final de 30 dias.

Calcule a quantidade inicial do isótopo.

Solução: Seja Q(t) a quantidade presente no instante t e Q(0)=Qo a quantidadeinicial.

Resolvendo a equação dQ/dt = - k Q(t) temos que:

Q(t) = Qo e –k.t e, para t = 16, Q(16) = ½Qo, logo e -16.k = ½.

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade, obtemos:

k = [ln(2)]/16 = 0,0433 dias -1

e dessa forma temos a função que determina a quantidade de isótopo radioativo em qualquer instante:

Q(t) = Qo e - 0,0433 t

Para t = 30 dias e Q(30) = 30 g: Qo = 30/e -0,0433x30 ≅ 110 g
Exemplo 2 das Aplicações

Crescimento populacional: o modelo de Malthus
Problemas populacionais nos levam fatalmente às perguntas:

1. Qual será a população de certo local ou ambiente em alguns anos?

2. Como poderemos proteger os recursos deste local ou deste ambiente para que não ocorra a extinção de uma ou de várias espécies?

Para apresentar uma aplicação de equaçõesdiferenciais relacionadas com este problema, consideraremos o modelo matemático mais simples para tratar do crescimento populacional de algumas espécies. Ele é chamado Modelo de Crescimento Exponencial, isto é, a variação da população em relação ao tempo, denotada por dP/dt, é proporcional à população presente.

Em outras palavras, se P = P(t) é a população, temos

dP/dt = k P

onde k é umaconstante. É simples verificar que se k > 0, teremos crescimento e se k < 0, teremos decaimento.

Esta é uma EDO linear cuja solução é P(t) = Po e k.t

Onde Po é a população inicial, P(0) = Po.

Portanto,

1. Se k > 0, a população cresce e continua a expandir para +∞.

2. Se k < 0, a população se reduzirá e tenderá a 0. Em outras palavras, a população será
extinta.












Exemplo 3 das...
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