Dist. BETA

DISTRIBUIÇÃO BETA

A distribuição beta é frequentemente usada para modelarmos a proporção, ou modelagem de objetos que pertençam ao intervalo (0, 1), pois essa distribuição está definida neste intervalo. O modelo beta tem inúmeras aplicações para representar quantidades físicas cujos valores estejam restritos a um intervalo identificável.
Definição: A distribuição beta é uma distribuição de probabilidade contínua, com dois parâmetros α e β cuja função de densidade para valores 0 < x < 1 é No modelo, os parâmetros α e β definem a forma da distribuição. Se α = β, a distribuição é simétrica, se α > β, a assimetria é negativa e no caso de α < β, sua assimetria é positiva.
Observação:
Note que se α = β = 1, a densidade de Beta se reduz à Uniforme no intervalo (0,1); A densidade beta é apropriada para modelar proporções, por causa do seu domínio (o intervalo (0,1)) e também pela variedade de formas que a densidade pode assumir, de acordo com os valores especificados de α e β.

Esperança:

E(X) = ∫_0^1▒〖x 1/(B (α,β)) x^(α-1) 〖(1-x)〗^(β-1) dx〗= α/(α+ β)
Variância:
Var(X)= E(X^2) – 〖(E(X))〗^2
E(X) = ∫_0^1▒〖x 1/(B (α,β)) x^(α-1) 〖(1-x)〗^(β-1) dx〗= α/(α+ β)
E(X^2) = ∫_0^1▒〖x^2 1/(B (α,β)) x^(α-1) 〖(1-x)〗^(β-1) dx〗= (α (α+1))/((α+ β)(α+ β+1))

V(X) = (α (α+1))/((α+ β+1)(α+ β))-〖(α/((α+ β) ))〗^2 = αβ/((α+ β)^2 (α+ β+1))

Função Geradora de Momentos:

A função geradora de momentos da distribuição beta é complicada e envolve a chamada função hipergeométrica confluente a qual é solução de uma equação diferencial chamada equação diferencial hipergeométrica confluente, também conhecida como função de whittaker. Entretanto podemos encontrar a sua função de momentos, dada da seguinte forma: