Derivadas

Módulo 2

Aplicações de Derivadas

tervalo aberto a um valor c entre a e b , tal que f '(c)

f seja contínua no [a,b] e que f '(x) exista no inx b . Então, existe pelo menos f (b) f (a) . b a

A partir deste momento, passaremos a estudar seqüência, limites e continuidade de uma função real. Leia com atenção, caso tenha dúvidas busque indicadas e também junto ao Sistema de Acompanhamento

pelo menos um ponto c (a, b) tal que a reta tangenc, f (c) é paralela à reta que passa pelos pontos A a, f (a) e B b, f (b) , como indica

y f(b) f(c) B

f(a)

A [ a c ] b x

0

Figura 6.1

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Curso de Graduação em Administração a Distância

Exemplo 6.1 Seja f (x) x 2 valor de c que o TVM garante existir. Resolução: Aqui a assim f (a) Como f (x) 1 x f '(c) ou seja, f ( 1) 1 eb 1
2

1,3 . Calcular o

3. Vamos calcular f (a) e f (b) , 1 e f (b) f (3) 32 9.

x 2 é contínua para todo x , f '(x) 2c para 1 c 2c 9 1 3 ( 1) 3, temos 8 4 2

2x existe em

3 e f '(c) f (b) f (a) b a

2c

2

c 1,

c 1. Portanto, o valor de c que o TVM garante existir em Exemplo 6.2 Seja f (x) x3 , a 2 eb

1,3 vale 1.

2 . Determine os pontos desse

Resolução: teses do TVM. Queremos determinar c f '(c) Assim, f (x)

2,2 tal que

f (b) f (a) . b a 3c 2 para c 8 ( 8) 2 ( 2) 4, 2,2 . Então

3x 2 e f (c) f (b) f (a) b a

de forma que f (c) 3c 2

f (b) f (a) b a 4 4 c2 c 3 2 3

2 3 e c2 2 3 entre a 2

Logo, os dois valores de c são: c1 eb
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2 , nos quais a tangente à curva y

x 3 é paralela à corda que passa

Módulo 2

pelos pontos ( 2, 8) e (2,8) . c1 2 3 e c2 2 3

.

A fórmula de Taylor é uma extensão do teorema do valor médio.

Seja f uma função tal que f e suas n primeiras derivadas f , f ,..., f ( n 1) , f ( n) sejam contínuas em[a,b] . Além disso, f ( n 1) (x) existe para todo x no intervalo aberto (a,b) . Então, a fórmula de Taylor ou polinômio de Taylor de ordem n , no ponto a , da função f f (x) f (a) f (a) (x a) 1! f (a)