Derivadas

Derivadas das Funções Trigonométricas
A derivada da função seno
Aplicando a definição de derivada à função obtemos sen'( x ) = e daí, como temos que sen'( x ) = =
= +
Na próxima seção, vamos mostrar que
(1)
e que
(2) .
Uma vez demonstrados estes fatos segue imediatamente que sen'( x ) = cos( x )
Observação : Examinando, cuidadosamente, os limites que aparecem em (1) e (2), veremos que ambos têm uma curiosa forma. Como , o limite dado em (1) pode ser escrito como

e este limite, por definição, é igual a cos'(0).
Da mesma forma, como , o segundo limite pode ser escrito como

e, usando a definição de derivada uma vez mais, concluímos que este limite é igual a sen'(0).
Assim, se provarmos que cos'(0) = 0 e sen'(0) = 1 teremos mostrado que sen'( x ) = cos( x ) e isto é feito na próxima seção.
O Limite trigonométrico fundamental
O limite

que aparece durante os cálculos que são feitos no processo de derivação de funções trigonométricas, tem considerável importância no Cálculo Diferencial.
Na demonstração consideraremos apenas valores positivos para x pois, se substituirmos x por na expressão o valor da razão permanece inalterado, isto implica que se , então . A demonstração é baseada na seguinte figura:

Dessa figura podemos concluir que, para 0 < x < , a área do triângulo OPS £ a área do setor circular OQS £ a área do triângulo OQR
£ £
A primeira desigualdade nos dá:

e a segunda desigualdade nos dá:

Assim, como (por quê?) e o (por quê?), o teorema do sanduíche garante que, quando x ® 0 , a razão ® 1.
Uma vez estabelecido que é fácil provar que .
Assim, temos que
= =
= = 0 . 1 . 1 = 0
A derivada da função cosseno
Da mesma forma que foi feito para a função seno, aplicando-se a definição de derivada à função cosseno obtemos: cos'( x ) = =
=
= cos ( x ) - sen ( x ) = - sen ( x )
As derivadas das demais funções trigonométricas
A partir das fórmulas sen'( x ) = cos( x ) e cos'( x ) = - sen( x