DERIVADAS PONTO MAXIMO E PONTO MINIMO

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Sejam A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) dois pontos no espaço R3. A distância entre os pontos A e B é igual ao módulo do vetor AB, se determina por , onde x = x2 - x1, y = y2 - y1 e z = z2 - z1.

DISTÂNCIA DE PONTO A RETA EM R3

Consideremos: (1) a reta r: x = x0 + a, y = y0 + b, z = z0 + c onde P = (x0, y0, z0)é um ponto da reta e v = (a, b, c) o vetor que define a direção dessa reta, e (2) o ponto Q = (x1, y1, z1), conforme figura a seguir:

Seja então, determinar a distância do ponto Q = (x1, y1, z1) à reta r.
A distância do ponto à reta equivale ao módulo do vetor QR, tal que QR  r.
Do triângulo retângulo PQR tiramos |QR| = d = |PQ|. sen .
Sendo u o unitário na direção de v, temos que d = |u|.|PQ|. sen , pois |u| = 1.
Como u = v/|v|, resulta, para a igualdade acima: d = |v/|v||.|PQ|. sen  = (1/|v|).|v|.|PQ|.sen . Da álgebra vetorial vimos que |v|.|PQ|.sen  é o módulo do produto vetorial v x PQ.
Desta forma podemos escrever:

Exemplo: Calcular a distância do ponto (2, -5, 7) à reta x = 4 + 3, y = -6 + , z = 2 - 4. Temos, de acordo com o exposto acima: ponto da reta P = (4, -6, 2), vetor que define a direção da reta v = (3, 1, -4) e ponto fora da reta Q = (2, -5, 7).
Calculando o vetor PQ = Q - P = (2 - 4, -5 + 6, 7 - 2) = (-2, 1, 5).
O produto v x PQ é (-9, 7, 5).

DISTÂNCIA DE PONTO A RETA EM R2

A reta em R2 tem formas como y = mx + h e os pontos são dados na forma (x1, y1) ou seja, com apenas duas coordenadas. Podemos entretanto, considerar ambos como do espaço tridimensional onde z = 0. Assim, a reta seria indicada pelas equações y = mx + h e z = 0 enquanto o ponto seria indicado por (x1, y1, 0).
Para obter o ponto da reta e o vetor que define sua direção podemos escrever a equação da reta na forma: x = 0 +  y = h + m z = 0.
(0, h, 0) é o ponto da reta enquanto que v = (1, m, 0) é o vetor que define a