Círculo de Mohr

Resistência dos Materiais XI

CÍRCULO
CÍRCULO DE
DE
MOHR
MOHR
PARA
PARA
TENSÕES
TENSÕES

Estado Plano de Tensões
Num certo ponto da superfície de um corpo carregado são conhecidas as tensões em dois planos perpendiculares y σy σx

τyx τxy σx

z σy x

Trace um eixo horizontal para marcar as tensões normais σ

τ

Representação Gráfica das
Tensões no Plano de Mohr σ Trace um eixo vertical para marcar as tensões tangenciais τ

Marque as tensões normais de tração à direita da origem

τ

0

Marque as tensões normais de compressão à esquerda da origem

σ

Marque para CIMA as tensões tangenciais que giram o elemento no sentido
HORÁRIO

τ

σ

0
Marque para BAIXO as tensões tangenciais que giram o elemento no sentido
ANTI-HORÁRIO

Exemplo
1: σx =σ+ x50MPa; σy = - 10MPa; τxy = τyxapresentadas
- 40MPa
Plote
no plano τ os valores das tensões
-10
τ
40

y x -40
50

50
-40
-10
-10

40

50

σ

Unindo os dois pontos obtém-se a posição do centro do círculo de Mohr σC = ½ (σ σx + σy)

τ

40

Observeoo
Observe
triângulo triângulo assinalado assinalado 20
-10

40

C

50

σ
Traceoocírculo
círculo
Trace
comcentro centroem em com passando
CCeepassando
pelosdois dois pelos pontos pontos

Os catetos do triângulo valem:

τ

40

40 ττxyxy == 40

20
-10

C

50

½(σ
(σ
½[50-(-10)]
[50-(-10)]==30
30
½
σσxx––σσyy))==½

40

σ

A hipotenusa valerá:

τ

40

[ (σ x − σ y )] + τ xy
1
2

2

40 ττxyxy == 40

2

30 + 40 > 50
2

2

-10

50
½(σ
(σ
½[50-(-10)]
[50-(-10)]==30
30
½ σσxx––σσyy))==½ 40

σ

A hipotenusa é o raio R do Círculo de Mohr

τ σcc--RR σσmín mín==σ -30
==-30

-10

40

40

= RR
50
ττmáx
R===50
50 máx= 20

PORTANTO: σcc++RR σσmáx máx==σ 70
==70

50

σ

As tensões principais ficam assim determinadas:

σσp1p1==σσcc++RR==½½((σσxx ++σσyy))++

[½