Cálculo i

Universidade Estadual de Santa Cruz Departamento de Ciˆncias Exatas e Tecnol´gicas - DCET e o Segunda Lista de Exerc´ ıcios de C´lculo Diferencial e Integral I a 1. Achar a derivada pela defini¸ao de f(x)= c˜ (a) 2x + 3; (b) x3 + 7x2 : (c) x2 − 2x; √ (d) x − 1; 2. A fun¸ao f (x) = x|x| ´ deriv´vel? Caso positivo, dar f (x) c˜ e a 3. Prove que : (utilize o teorema do confronto) 1 =0 x→0 x 1 (b) lim x2 sin = 0 x→0 x 1 (c) lim xn sin = 0 x→3 x (a) lim x sin 4. Calcular a derivada das seguintes fun¸oes, justificando cada passagem: c˜ (a) f (x) = ax + b (b) g(x) = (c) h(x) = (d) f (x) =
1 x 1 x+1 x x1 3

(e) g(x) = x (g) g(x) =

(f) f (x) = (x + 1)(x − 4)
1 √ , (x x

> 0)

5. Considere a fun¸ao dada por c˜ f (x) = 3 − ax, se x > 1 2, se x = 1 x2 + bx + c, se x > 1

(a) Encontre uma rela¸ao entre a, b, e c para que f seja cont´ c˜ ınua em x = 1. (b) Determine os valores de a, b e c para que f seja deriv´vel em x = 1. a 6. Derive 1

(a) f (x) = 186, 5 (b) f (x) = 5x − 1 (c) f (x) = x3 − 4x + 6 (d) f (x) = 1 (t4 + 8) 4 (e) f (x) = x (g) f (x) = (h) f (x) = (i) f (x) = (j) f (x) = (k) g(u) =
−2 5

(f) f (x) = (x − 2)(2x + 3)
√

√ √ √

10 x7

x(x − 1)

x2 +4x+3 √ x

x − 2ex √ 2u + 3u

(l) f (x) = ex+1 + 1 (m) f (x) = x2 ex (n) f (x) = (o) y = ex 1+x 3x−1 2x+1 ex x2

(p) g(x) =

(q) h(t) = (t + et )(3 − (r) f (x) = (s) f (x) = (t) y = x c x+ x 3−2x 3+2x

√ t)

1 cos x
5

7. Determine a equa¸ao da reta tangente ao gr´fico de y = x 3 − c˜ a x = 64. 8. Determine as tangentes horizontais ao gr´fico de y = a x3 3

√

x, no ponto de abscissa

−

5x2 2

+ 6x + 5.

9. Determine a equa¸˜o da reta r tangente ao gr´fico de y = x2 + 3x + 1 e que ´ paralela ` ca a e a reta de equa¸˜o y = 4x + 7. ca 10. Achar a derivada sendo dada f(x). (a)
1 √ 3 2 x

−

√ 2 √ x3x

(b) sin x + cos x (c) ax2 + bx + c (d) cosh x = ex +e−x 2

(co-sseno hiperb´lico de x) o 2

(e) sinh x = √ (f) x sin x

ex −e−x 2

(seno hiperb´lico de x) o