Cálculo Numérico

Professor: Cláudio Lemos Disciplina: Cálculo Numérico
Aluno: Paulo Henrique Borges de Almeida Matricula: 115844
Data: 09/12/2014

Resumo

Método de Euler O método de Euler ou método das tangentes constitui de uma das técnicas mais simples para aproximar soluções de equações diferenciais. Suponha que queiramos aproximar a solução do problema de valor inicial (PVI):

Figura 1:

Pela figura 1, podemos achar um ponto (x1, y1) = (x0 + h, y1) na tangente da curva solução em (x0, y0). Pela forma ponto-coeficiente angular de uma reta, temos:

Supondo h um valor constante, pode-se obter sucessão de pontos (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) que estão próximos dos pontos (x1, y(x1)), (x2, y(x2)), ..., (xn, y(xn)), de modo geral, temos:

onde

Método de Taylor
No método de Taylor as soluções numéricas de equações diferenciais são deduzidas do desenvolvimento em série de Taylor. Considerando PVI:

Aplicando a série de Taylor para y(x) no ponto xk, temos:

Calculando no ponto xk+1 e considerando que xk+1 – xk = h temos que:

Como y’(xk) = f(xk, yk) podemos relacionar as derivadas de ordem superior com as derivadas da função f(x, y). Desenvolvendo, temos:

Método de Runge-Kutta
E o método mais utilizado e mais preciso para obter soluções aproximadas de equações diferenciais. Tem duas ordens de grandeza mais preciso do que o método de Euler.
A fórmula de Runge-Kutta envolve uma média ponderada de valores de f (t, y) em pontos diferentes no intervalo tn ≤ t ≤ tn-1.

É dada por

onde

Referências:

BOYCE, William E.; DIPRIMA Richard C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. Trad. sob a direção Valéria de Magalhães Iorio. 7.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002, 225 à 244 p.

ZILL, Dennis G; CULLEN, Michael R. Equações Diferenciais. Trad. sob a direção Alfredo Alves de Farias.Vol.2, 3.ed. São Paulo: Person Makron Books, 2001, 98 à 143