cálculo numérico

1) Mostre que a função f(x) = x² − 4x + cos x possui exatamente duas raízes: α1 ∈ [0,1.8] e α2 ∈ [3,5]. Considere as funções:

φ1(x) e φ2(x)
Assinale C para as alternativas corretas e E para as alternativas erradas:
( ) φ1 pode ser usada no intervalo [0,1.8] para aproximar α1 pelo método de aproximações sucessivas, mas φ2 não pode ser usada neste intervalo;
( ) φ1 e φ2 podem ser usadas no intervalo [0,1.8] para aproximar α1 pelo método de aproximações sucessivas;
( ) φ2 pode ser usada no intervalo [3,5] para aproximar α2 pelo método de aproximações sucessivas, mas φ1 não pode ser usada neste intervalo;
( ) φ1 e φ2 podem ser usadas no intervalo [3,5] para aproximar α2 pelo método de aproximações sucessivas;
( ) φ1 pode ser usada para aproximar α1 no intervalo [0,1.8] e também para aproximar α2 no intervalo [3,5].

2) Em cada caso, avalie o valor de K = maxx∈I |φ′ (x)| e assinale com V as alternativas verdadeiras e com F as falsas.

( ) Se φ(x) = x(2 − lnx), I = [2,3], então K = 0.5;
( ) Se φ(x) = , I = , então K = ;
( ) Se φ(x) = x -  (sin x - ), I =, então K = .

7) Considere as funções reais f(x) = sin x -  e φ(x) = x – K (sin x − ):
(a) Mostre que f(x) tem uma única raiz x no intervalo [0, ].
(b) Considere o processo iterativo x0 = 0, xn+1 = φ(xn), n = 0,1,0... Determine os valores da constante K para os quais a sequência xn permanece no intervalo [0,] para todo n e converge para  quando n → ∞.

12) Seja f(t) = 5. Mostre que a equação f(t) = 5 possui exatamente duas raízes reais e que a maior delas se localiza em [4,5]. Use o método de Newton para determinar esta maior raiz com precisão pré-fixada de , justificando o porquê da convergência da sequência gerada pelo método.