Cálculo ii

CÁLCULO II – Séries
Sucessões de Números Reais
(un)nϵN
Monotonia | Crescente: un+1≥un | | Estritamente Crescente: un+1>un | | Decrescente: un+1≤un | | Estritamente Decrescente: un+1<un |
Limitada superiormente: ∃α∈R:un≤α
Limitada inferiormente: ∃β∈R:un≥β
Limitada: ∃α,β∈R:α≤un≤β
Progressão geométrica un=u1rn-1 Razão da Progressão Geométrica r=un+1un Soma dos n primeiros termos de uma Progressão Geométrica sn=u1.1-rn1-r Sucessão de termos positivos
Se ∃limn→+∞un+1un, então limn→+∞nun=limn→+∞un+1un * limn→+∞nnp=1 * limn→+∞nn!=+∞
Séries Numéricas a1+a2+a3+…+an=n=1∞an=n≥1an Sucessão das Somas Parciais sn=a1+a2+…+an=n=1∞ak Convergência n=1∞an é convergente se limn→+∞(sn)=s→soma n=1∞an é divergente se ∄limou é infinito n=1∞an e n=p∞an têm a mesma natureza
Série Geométrica de Razão r n=1∞arn-1 converge se r<1 e diverge se r≥1 n=0∞rn converge se r<1 e tem soma 11-r e diverge se r≥1
Série de Mengoli
O termo geral pode ser escrito na forma: an=un+p-un ou an=un-un+p
Se p=1:an=un-un+1 ou an=un+1-un
Condição Necessária de Convergência
Se an converge ⟹liman=0 liman=0 ⇏an converge, nada concluímos
∄limanou ≠0⟹an diverge
Propriedades das Séries an e bn i. Se an é convergente então βan também é convergente. βan=βan ii. Se an e bn são convergentes então (an±bn) também é convergente. (an±bn)=an±bn iii. Se an é convergente e bn é divergente então (an+bn) é divergente iv. Se an é divergente então ∀α≠0, αan é também divergente.
Critério de Convergência Para Série de Termos Não Negativos an , série de termos não negativos, an≥0. A série converge se a sucessão de somas parciais é limitada superiormente.
Critério do Integral an≥0; f:[1/p;+∞[→R, decrescente em [1/p;+∞[ tal que fn=an
Então n=1/p∞an e 1/p∞fxdx têm a mesma natureza (Para p>1 também é válido) i. Se 1∞fxdx for convergente 1∞an é convergente ii. Se 1∞fxdx for divergente 1∞an é divergente
Série de Dirichelet n=1∞1np , de ordem