Cálculo de Área de figuras planas integrais

CALCULANDO ÁREAS
A partir da fórmula da área de um retângulo podemos entender as fórmulas da área de outras figuras planas. Para deduzir as conhecidas fórmulas de áreas adotamos como unidade de área um quadrado que, por definição tem área igual a 1 u.a.
Como chegar na fórmula da área de um retângulo?
Definição: Retângulo é o paralelogramo em que os quatro ângulos retos são congruentes.

Área calculada pela Geometria Plana: Como chegar na fórmula: Aretângulo = B.h ?
Começamos com um retângulo de lados de medidas inteiras m e n que pode ser dividido em quadrados unitários.
Se contarmos a quantidade de quadrados no interior do retângulo teremos 15 quadrados, ou, 15 u.a. Agora utilizando outra maneira de contar, vamos generalizar um procedimento para o cálculo da área, ou seja, encontrar a fórmula. O retângulo de lados inteiros m e n tem m -- 5 e n -- 3, de forma que existem 5 quadrados justapostos na horizontal em cada linha, num total de 3 linhas. Então:
Assim, temos um retângulo formado por m quadrados justapostos na horizontal, distribuídos em n linhas:

Assim a fórmula da área do retângulo será igual a:

Entendido como calcular a fórmula da área de um retângulo, através da Geometria Plana, podemos deduzir as fórmulas de área de outros polígonos: recortamos sempre os polígonos que queremos deduzir a fórmula da área, de modo a ”montar” um retângulo, e assim, conseguiremos suas fórmulas de áreas através da fórmula da área desse retângulo.

Como chegar na fórmula da área de um quadrado?
Definição: Quadrado é o paralelogramo em que os quatro lados e os quatro ângulos são congruentes.

Como chegar na fórmula da área de um Triângulo?
Definição: Dados três pontos A, B, C não colineares, à reunião dos segmentos AB, AC e BC chama-se triângulo.

Área calculada pela Geometria Plana: Intuitivamente podemos nos convencer que as peças que compõem o triângulo se encaixam perfeitamente na composição do retângulo.

No triângulo temos a reta HE passando pelos pontos