Curvatura Gaussiana

Curvatura Gaussiana para Professores de F´sica ı ˜
( VERS AO

PRELIMINAR )

A C Tort∗
Instituto de F´sica ı Universidade Federal do Rio de Janeiro
Caixa Postal 68.528; CEP 21941-972 Rio de Janeiro, Brazil
15 de Marco de 2014
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Notas de aula TORT 2014

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Geod´ sicas, curvatura e m´ trica e e
Nesta nota de aula, estudaremos alguns aspectos da geometria das superf´cies bidimensioı nais (e tridimensionais!) com curvatura, alguns exemplos das quais s˜ o mostradas na Figura a 1. Ficaremos restritos as superf´cies suaves, i.e.. superf´cies sem cantos ou arestas, como por
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ı ı exemplo a superf´cie dos poliedros. A id´ ia e ganhar familiaridade com algumas id´ ias e conceiı e ´ e tos da geometria diferencial que se mostrar˜ o importantes quando vocˆ , leitor, fizer a transicao a e
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da gravitacao newtoniana para a gravitacao relativ´stica.
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¸˜ ı Figura 1: Superf´cies hiperb´ lica, cil´ndrica e esf´ rica. A curvatura da superf´cie cil´ndrica e ı o ı e ı ı
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nula. A superf´cie hiperb´ lica tem curvatura negativa e a esf´ rica positiva. ı o e Superf´cies bidimensionais ı Uma boa parte da geometria que aprendemos na escola secund´ ria diz respeito a geometria a ` do plano euclidiano. O que queremos dizer quando afirmamos que a tampa de uma mesa de jantar ou de uma mesa de bilhar pode ser modelada por uma porcao finita de um plano eu¸˜ clidiano? Ora, queremos dizer simplesmente que sobre a tampa da mesa vale o teorema de
Pit´ goras, ou que a soma dos angulos internos de um triˆ ngulo vale 180 o . Esses teoremas, e a ˆ a todos os que decorrem dos postulados da geometria de Euclides, podem ser aplicados aos problemas pr´ ticos do mapeamento ou da agrimensura, desde que as medicoes envolvidas sejam a ¸˜ tais que a curvatura da Terra possa ser desprezada. Mas, e se a curvatura da Terra n˜ o puder a ser desprezada? A Figura 2 mostra-nos o que acontece com a soma dos angulos