Lista3

Geometria Diferencial
Lista 3
Superf´ıcies
1. Encontre a imagem do mapa de Gauss para cada uma das superf´ıcies f −1 (0) onde
a) f (x, y, z) = x2 + y 2 − z,

(hiperbol´oide de uma folha).

c) f (x, y, z) = x2 − y 2 − z 2 − 1,

(hiperbol´oide de duas folha).

+

y2

−

(parabol´oide de revolu¸c˜ao).
− 1,

b) f (x, y, z) =

x2

z2

A imagem do mapa de Gauss ´e um subconjunto de S 2 (1). Assim, por exemplo, para
√
(b) a resposta ´e {(x, y, z) ∈ S 2 (1) : |z| < 1/ 2}, verifique.
2. Seja {e1 , e2 } uma base ortonormal de Tp S formada pelos autovetores de −dNp com correspondentes autovalores κ1 , κ2 . Se e = e1 cos θ + e2 sin θ, mostre que a curvatura normal κn de uma curva tangente a e ´e dada por κn (θ) = κ1 cos2 θ + κ2 sin2 θ.
Conclua que
H=

1
2π

∫

2π

κn (θ)dθ.
0

(isto justifica o nome curvatura m´edia).
3. Seja α(t) uma curva contida no cone circular x2 + y 2 = z 2 , z > 0 dada por α(t) = et (cos t, sin t, 1),

t ∈ r.

Mostre que a curvatura normal de α ´e inversamente proporcional a et .
4. Seja
X(u, v) = (h1 (v) cos u, h1 (v) sin u, h2 (v)) a parametriza¸c˜ao padr˜ao de uma superficie de revolu¸c˜ao S em R3 . Mostre que
a) F = f = 0 e encontre E, G, e, g em termos de h1 , h2 e suas derivadas;
b) Xu e Xv s˜ao as dire¸c˜oes principais em cada ponto;
c) κ1 = e/E, κ2 = g/G s˜ao as curvaturas principais; onde E, F, G e e, f, g s˜ao os coeficientes de primeira e segunda formas fundamentais respectivamente. 1

5. Seja S uma superf´ıcie em R3 definida pela equa¸c˜ao z= 1
.
1 + x2 + y 2

Encontre as curvaturas principais e os pontos umb´ılicos. Fa¸ca um esbo¸co da superf´ıcie mostrando as regi˜oes da superf´ıcie onde K > 0 e K < 0.
6. Superf´ıcies de Enneper
Considere a superf´ıcie em R3 parametrizada por
(
) u3 v3
2
2
2
2
X(u, v) = u −
+ uv , v −
+ u v, u − v .
3
3
Mostre que:
a) Os coeficientes de primeira e segunda formas fundamentais s˜ao dados por
E = G = (1 + u2 + v 2 )2 ,

F = 0,

e L = 2,

N = −2.

M = 0,

b) As curvaturas principais s˜ao dadas por κ1 =

2
(1 +

u2