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Gradiente Seja z = f(x, y) uma função de duas variáveis e as “ parciais “ de z = f(x, y).
Seja P0 (x0, y0), um ponto do plano xy; a projeção de “z” no plano dada por curvas de nível e as derivadas calculadas no ponto Po, plano R2 chamamos de Vector Gradiente ao seguinte vector :
O Vetor Gradiente é ortogonal à reta tangente a uma curva de nível pelo ponto P0 (x0, y0).
Graficamente:
Analogamente, quando temos w = f(x, y, z), o Vetor Gradiente será ortogonal ao plano tangente à uma superfície de nível por um ponto P (x0, y0, z0) do espaço R3, daí:
Exemplos : Determine o vector gradiente das funções abaixo no ponto Po plano R2.
1 ) z = ln ( x² + y² ) em Po ( 0, 1 ).
Resolução :
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2 ) z = x.sen y em Po ( 1, ).
Resolução :
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Derivada direccional (Inclinação)
Se z = f(x,y) é uma função diferenciável de x e y com u = u1i + u2j um vector unitário, então a derivada direccional de z na direcção de u é denotada por : (I)
Seja o vector gradiente temos que a derivada direccional é a direcção assumida pelo vector gradiente quando “aplicado” no vector unitário u, logo, para calcularmos a derivada direccional temos o vector decomposto em é combinado com a equação ( I ) chegamos em :
Exemplos:
1) Ache a derivada direccional de no ponto P0 na direcção .
Resolução:
Como a não é vector unitário, temos que normaliza-lo, daí:
Logo: Portanto:
2) Ache a derivada direccional de no ponto J na direcção .