composição da função

Composição da função
Em matemática, uma função composta é criada aplicando uma função à saída, ou resultado, de uma outra função, sucessivamente. Como uma função deve possuir um domínio e contradomínio bem definidos e estamos falando de aplicar funções mais de um vez, devemos ser precisos com relação a como estamos aplicando estas funções.
Definição
Seja: e duas funções, Se o domínio de g contiver o contradomínio de f, podemos definir a função composta: como: Isto é ilustrado na figura abaixo: Associatividade
Pode-se então estender a definição para a composição de três ou mais funções, de maneira análoga. Sejam .
É fácil mostrar que: associatividade, então define-se a função composta: como: De uma forma geral, basta a imagem estar contida no domínio de g para podermos definir a função composta (a definição rigorosa seria uma composição com a função inclusão).
Potência de uma função
Seja . Neste caso, pode-se definir , , etc. Pode-se portanto definir (por indução: ) para . Definindo-se:

Chega-se facilmente a: Eventualmente, conforme a estrutura do conjunto A e da função f, é possível estender a definição de para n inteiro (ou mesmo outros superconjuntos dos naturais).

Função Injetora

Observe o gráfico da função f: R → R abaixo: Valores diferentes de x estão correspondendo a valores diferentes de y, ou seja: Note que o mesmo não ocorre no gráfico abaixo: Existem valores diferentes de x que possuem a mesma imagem: Se uma função é so crescente ou só decrescente, valores diferentes de x possuem imagens diferentes. Quando isso ocorre dizemos que a função é injetora.
Em outras palavras, uma função é dita injetora se dois elementos distintos de A correspondem sempre a duas imagens distintas em B. Exemplo 1: O diagrama a seguir representa a função injetora f: A → B Exemplo 2: O diagrama a seguir não representa uma função injetora f: A → B

Função Sobrejetora