Complexos 2

Um problema com solução impossível no conjunto dos R.

Vamos supor o seguinte problema:

Queremos dividir o número 18 em duas partes cujo o produto seja 82.

Considerando então x igual a primeira parte e 18 – x a segunda parte temos:

Encontrando as raízes da equação:

onde:

Concluímos que
A qual podemos escrever conforme a notação de Gauss:

Temos duas raízes para a solução do problema que dentro do conjunto dos números reais é considerado como uma solução impossível.

Os Números Complexos

O matemático Gauss considerou a com isso podemos concluir que:

Portanto segundo Gauss todo número escrito na forma:

Z = a + bi é denominada um Número complexo.

Onde a = parte real de z bi = parte imaginária de z.

A representação z = a + bi é chamada de representação algébrica de um número complexo.

Observações: quando b = 0 temos um número real. quando a = 0 temos um número imaginário puro.

Então concluímos que os números reais são englobados pelos números complexos.

Operações com os números complexos na forma Algébrica

- Igualdade de dois números complexos. Dois números complexos são iguais quando a parte real do primeiro for igual a parte real do segundo e a parte imaginária do primeiro também for igual a parte imaginária do segundo.
Exemplo:

- Adição de Complexos.

A soma de dois números complexos é realizada somando-se a parte real com a parte real e a parte imaginária com a parte imaginária.

- Subtração de Complexos.

Observe o exemplo:

Antes de trabalharmos multiplicação de complexos vamos observar as potências do número i

Potências do número i.

Observe que se continuar efetuando as operações com a potência de i os resultados começarão a se repetir.

As potências do número i ficam restritas a 4 valores, i elevado a 0, i elevado a 1, i elevado a 2 e i elevado a 3.

Exemplo:

Seja o número
O resultado desta operação