2 ANO N Meros Complexos Forma Trigonom Trica

Páginas: 8 (1774 palavras) Publicado: 21 de julho de 2015
Plano
complexo
(plano de
Gauss)
Prof. Jorge

Plano de Gauss


A cada número complexo z = a + bi
podemos associar, um e somente um, par
ordenado (a, b).
(a, b) ⇒ a = Re(z) e b = Im(z)



A partir dessa correspondência um a um,
podemos representar o conjunto dos
números complexos por meio de um
sistema de coordenadas cartesianas. A
esse sistema damos o nome de plano
complexo ou plano de Gauss.Prof. Jorge

Plano de Gauss


A cada complexo z = a + bi corresponde,
no plano complexo, um ponto P(a, b).
Eixo imaginário
(Im)

b
O

Prof. Jorge

P
a

Eixo real
(Re)

P(a, b) é
o afixo
de z.

Plano de Gauss


Veja os afixos de alguns complexos no
plano complexo.
Complexo

Afixo

3 + 2i

A(3, 2)

–3 + i

B(–3, 1)
C(–2, –
4)
D(2, –1)

–2 – 4i
2–i
4 = 4 + 0i
–3i = 0 –
3i
0 = 0 + 0i
Prof. JorgeI
m
B
–3

O(0, 0)

1

–2
–1

E(4, 0)
F(0, –3)

A

2

O

D

–3 F
C

2

–4

3

E
4

R
e

Módulo e
argumento de
um complexo

Módulo e argumento de um complexo


A figura mostra o afixo P(a, b) de
um complexo z = a + bi, sendo a e b
reais.
(Im
)

P

b

 r = |→

z|
α

r

arg(z)

α
O

Prof. Jorge

a

(Re
)

módulo de z
(OP)
=
→ argumento
de z

Módulo e argumento de um complexo


A figura mostra oafixo P(a, b) de
um complexo z = a + bi, sendo a e b
reais.
(Im
)

 Cálculo de r = |

z|:

P

b

r
α
O

Prof. Jorge

a

(Re
)

r2 = a2 +
b2
r = |z| = √a2 +
b2

Módulo e argumento de um complexo


A figura mostra o afixo P(a, b) de
um complexo z = a + bi, sendo a e b
reais.
(Im
)

 Cálculo

arg(z):

P

b

a
cos α
r
=

r
α
O

Prof. Jorge

a

(Re
)

b
sen α r
=

do

Pág. 104 - R14
Calcular osmódulos dos números complexos
z = 3 –i e
w = 2i.

Prof. Jorge

Exemplos


Obter o módulo r e o argumento
principal α de cada um dos complexos z
= a + bi a seguir. Representar seus
afixos P no plano de Gauss.
a) z = – ⇒ z = 0 – ⇒ a = 0 e
2i
2i
= –2
r = |z| = √a2 + = √02 + (–
= 2
2
2
b
2)

b

a
0
= 0
cos α
=
r
2

arg(z) = α =
=
b

270º
sen α r =
= –
22
=
1
Prof. Jorge

Prof. Jorge

Exemplos
Obter o módulo r e o argumento
principal α de cada um dos complexos z
= a + bi a seguir. Representar seus
afixos P no plano de Gauss.
a) z = –
2i

(Im
)

α=
270º

O

r=
2
–2 P

Prof. Jorge

(Re
)

Exemplos


Obter o módulo r e o argumento
principal α de cada um dos complexos z
= a + bi a seguir. Representar seus
afixos P no plano de Gauss.
a) z = –√3 + ⇒ a = –√3 e b
i
=1
r = |z| = √a2 + = √(–√3)2+
= 2
2
2
b
1
a

cos α
=
r
2√
=
b
13
sen α r =
2
=

Prof. Jorge



arg(z) = α =
150º

Exemplos


Obter o módulo r e o argumento
principal α de cada um dos complexos z
= a + bi a seguir. Representar seus
afixos P no plano de Gauss.
a) z = –√3 +
i

P
r=
2
–√3

Prof. Jorge

(Im
)

1
α=
150º
O

(Re
)

Exemplos


Obter o módulo r e o argumento
principal α de cada um dos complexos z
= a + bi aseguir. Representar seus
afixos P no plano de Gauss.
a) z = 4 ⇒ z = 4
⇒ a=4 e
+ 0i
=0
r = |z| = √a2 +
2
2
=
√4
+
0
= 4
2
b
a
4
= 1
cos α
=
r
4
=
b
0
sen α r =
= 0
4
=

Prof. Jorge

b

arg(z) = α =




Exemplos


Obter o módulo r e o argumento
principal α de cada um dos complexos z
= a + bi a seguir. Representar seus
afixos P no plano de Gauss.
a) z = 4

(Im
)

O

Prof. Jorge

α=

r=
4

P
4(Re
)

Forma
trigonométrica
de um complexo

Prof. Jorge

Forma trigonométrica


Todo complexo não-nulo z = a + bi pode
ser escrito em função de seu módulo r e
de seu argumento principal α. Veja
a
cos α
r
=
b
sen α
r
=

a = r cos


α

b = r sen


α

z = r cos α + r
z = a +⇒
sen α . i
b.i
z = r(cos α +
i.sen α)
Prof. Jorge

Exemplos


Representar na forma trigonométrica,
os números complexos x= 1 + √3.i, y =
–3 + 3i e z = 2i.
x = 1 + √3.i ⇒ a = 1 e b =
√3
r = |z| = √a2 + =
√12 +
= 2
2
2
b
(√3)
a
1
cos α
=
r
2
=
b

sen α r =
23
=

Prof. Jorge



arg(z) = α =
60º

z = 2(cos 60º + i
sen 60º)

Exemplos


Representar na forma trigonométrica,
os números complexos x = 1 + √3.i, y =
–3 + 3i e z = 2i.
x = –3 + 3i ⇒ a = –3 e b
=3
r = |z| = √a2 + = √(–3)2 +
= 3√2
2
2
b
3
a

–√2
cos α r...
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