calculo

1 – INTEGRAIS
1.1 – Antiderivadas e Integrais Indefinidas
Definição: Uma função F é uma antiderivada de f em um intervalo I se F ' ( x)
Exemplo (1) F ( x)

x 2 é uma antiderivada de f ( x)

f ( x) .

OBS: Existem outras antiderivadas de 2 x , como por exemplo, x 2
C

I.

2 x , pois

( x 2 )' 2x

F ' ( x)

f ( x), x

5 , x2

7 , x2

5
, x2
3

C , com

IR .

Exemplo (2) G( x)

2x 4

C é uma antiderivada de g ( x) 8x 3 , pois
G' ( x)

(2x 4 )' 8x 3

g ( x) .

Exemplo (3) Sabendo-se que f ( x)
Solução:

x 4 , determine sua antiderivada F (x ) .

Exemplo (4) Sabendo-se que g ( x)
Solução:

x 8 , determine sua antiderivada G (x ) .

Exemplo (5) Sabendo-se que h( x)
Solução:

x 3 , determine sua antiderivada H (x ) .

A partir dos exemplos anteriores, podemos concluir que: f ( x)

xn

F ( x)

xn 1
C , desde que n 1 . n 1

Teorema: Seja F uma antiderivada de f em um intervalo I . Se G é outra antiderivada de f em I , então G ( x) F ( x) C , para C I .
OBS: Se tomarmos f ( x)

2 x , F ( x)

x2

3 e G ( x)

Notas de Aula – Curso de Cálculo – FATEC TATUAPÉ

x2

5 , vemos que G ( x)

F ( x) 2 .

1

Definição: A notação

f ( x)dx

F ( x) C ,

onde F ' ( x) f ( x) e C é uma constante arbitrária, denota a família das antiderivadas de f (x ) em um intervalo I .
OBS: (1) O sinal
(2)

é o sinal da integral;

f ( x)dx é chamado integral indefinida de f (x ) .

(3) Justificando algumas antiderivadas: x 4 dx

1 5 x 5

x 3 dx

C , pois

1 x 2

2

'

1 5 x 5

C , pois

x4

C

1 x 2

Exemplo (6) Calcule a integral

'
2

C

x

3

xdx.

Solução:

Exemplo (7) Calcule a integral 1dx.
Solução:

OBS: A diferenciação e a integração indefinida são processos inversos, pois, de certo modo, um desfaz o que o outro fez, e pode-se verificar tal fato no teorema a seguir;
Teorema:

(i)
(ii)

d
( f ( x)) dx dx d dx f ( x)dx

f ( x)