calculo

Páginas: 17 (4090 palavras) Publicado: 4 de novembro de 2013
Capítulo 3
Séries Numéricas
Neste capítulo vamos considerar somas de termos de sucessões, as quais se designam por séries.
No entanto, é habitual designar as séries finitas por somatórios, deixando-se a designação de
séries para as somas infinitas.

3.1

Somatórios

Os somatórios surgem como uma necessidade de simplificação da escrita de somas de termos
de uma sucessão.
Definição 3.1.1(Somatório) Sejam uk uma sucessão de termos reais e n ∈ N. O símbolo
de somatório
n
uk
k=1

define-se por recorrência da forma seguinte:
n−1

n

n

uk = u1

se

n=1

uk =

e
k=1

k=1

uk + u n

se n > 1.

k=1

Assim, para quaisquer p, q ∈ N, com p ≤ q, usamos o somatório
q

uk
k=p

para denotar a soma
up + up+1 + · · · + uq .
Neste caso, p diz-se o limiteinferior do somatório, q o limite superior e uk o termo
geral.
Exemplo 3.1.1 A soma Sn dos n primeiros termos de uma progressão aritmética ou geométrica uk pode ser escrita do modo seguinte:
n

Sn =

uk .
k=1

38

ANÁLISE MATEMÁTICA I

3. SÉRIES NUMÉRICAS

Proposição 3.1.1 Sejam uk e vk sucessões de termos reais e c ∈ R. Então são válidas as
propriedades seguintes:
1. Aditiva

nn

(uk + vk ) =
k=1

n

uk +
k=1

2. Homogénea

n

n

(c uk ) = c
k=1

3. Telescópica

vk ;
k=1

uk ;
k=1

n

(uk − uk−1 ) = un − u0 .
k=1

DEMONSTRAÇÃO - EXERCÍCIO: Usar o Método de Indução Matemática em n.

3.2

Séries numéricas

A noção de série numérica infinita é introduzida para permitir a generalização do conceito de
somatório com uma infinidade deparcelas numéricas.
Definição 3.2.1 (Série numérica) Seja un uma sucessão numérica. Designa-se por série
numérica infinita o par formado pela sucessão un :
u1 , u 2 , . . . , u n , . . .
e pela sucessão Sn seguinte:
2

S1 = u1 ,

S2 =

n

uk = u1 + u2 ,

...,

Sn =

u k = u1 + u2 + · · · + un ,

... .

k=1

k=1

Os números u1 , u2 ,. . . , un , . . . denominam-se termos dasérie, sendo un o termo geral
da série, e a sucessão de termos S1 , S2 , . . . , Sn , . . . designa-se por sucessão das somas
parciais. Habitualmente, a série de termo geral un pode ser representada por um dos quatro
modos seguintes:
+∞

u1 + u2 + · · · + un + . . . ,

un ,
n=1

un ,

un .

n≥1

O limite inferior da série poderá ser qualquer outro número natural e, em muitassituações,
poderá ser 0. Por norma, o limite inferior é o menor inteiro não negativo, a partir do qual,
o termo geral da sucessão está definido em R. Para simplificarmos a escrita, iremos designar
toda a série numérica infinita apenas por série.

EA EB

39

c Hermenegildo Borges de Oliveira, 2009/2010

ANÁLISE MATEMÁTICA I

3. SÉRIES NUMÉRICAS

Definição 3.2.2 (Convergência) Seja
ciais.
1.Diz-se que a série

un uma série e Sn a sucessão das suas somas par-

un é convergente, se a sucessão Sn for convergente.

2. Se a sucessão Sn é divergente, a série

un diz-se divergente.

A convergência de uma série reduz-se, portanto, à convergência da sucessão das somas parciais.
No caso em que a série
un é convergente, existe, então, um real S tal que
lim Sn = S.

n−→+∞

O limiteS denomina-se por soma da série e podemos escrever
+∞

un = S.
n=1

Exemplo 3.2.1 (Série finita) Uma série finita é uma série (infinita), digamos
os termos quase todos nulos, isto é, para a qual:

un , com

∃ p ∈ N : n > p ⇒ un = 0.
Proposição 3.2.1 Toda a série finita é convergente e, no caso do Exemplo 3.2.1, a soma da
série é dada por:
p

uk = u 1 + u2 + · · · + up .

S=
k=1DEMONSTRAÇÃO: AULA TEÓRICA.
Exemplo 3.2.2 (Série geométrica) Designa-se por série geométrica toda a série da forma:
+∞

xn = 1 + x + x2 + · · · + xn + · · · ;
n=0

onde x é um real que se denomina razão da série.
Por vezes, as séries geométricas poderão aparecer na forma seguinte:
+∞

xn = x + x2 + x3 + · · · + xn + · · · .
n=1

Com esta notação evita-se de, no caso particular x...
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