calculo

Capítulo 3
Séries Numéricas
Neste capítulo vamos considerar somas de termos de sucessões, as quais se designam por séries.
No entanto, é habitual designar as séries finitas por somatórios, deixando-se a designação de séries para as somas infinitas.

3.1

Somatórios

Os somatórios surgem como uma necessidade de simplificação da escrita de somas de termos de uma sucessão.
Definição 3.1.1 (Somatório) Sejam uk uma sucessão de termos reais e n ∈ N. O símbolo de somatório n uk k=1 define-se por recorrência da forma seguinte: n−1 n

n

uk = u1

se

n=1

uk =

e k=1 k=1

uk + u n

se n > 1.

k=1

Assim, para quaisquer p, q ∈ N, com p ≤ q, usamos o somatório q uk k=p para denotar a soma up + up+1 + · · · + uq .
Neste caso, p diz-se o limite inferior do somatório, q o limite superior e uk o termo geral. Exemplo 3.1.1 A soma Sn dos n primeiros termos de uma progressão aritmética ou geométrica uk pode ser escrita do modo seguinte: n Sn =

uk . k=1 38

ANÁLISE MATEMÁTICA I

3. SÉRIES NUMÉRICAS

Proposição 3.1.1 Sejam uk e vk sucessões de termos reais e c ∈ R. Então são válidas as propriedades seguintes:
1. Aditiva

n

n

(uk + vk ) = k=1 n

uk + k=1 2. Homogénea

n

n

(c uk ) = c k=1 3. Telescópica

vk ; k=1 uk ; k=1 n

(uk − uk−1 ) = un − u0 . k=1 DEMONSTRAÇÃO - EXERCÍCIO: Usar o Método de Indução Matemática em n.

3.2

Séries numéricas

A noção de série numérica infinita é introduzida para permitir a generalização do conceito de somatório com uma infinidade de parcelas numéricas.
Definição 3.2.1 (Série numérica) Seja un uma sucessão numérica. Designa-se por série numérica infinita o par formado pela sucessão un : u1 , u 2 , . . . , u n , . . . e pela sucessão Sn seguinte:
2

S1 = u1 ,

S2 =

n

uk = u1 + u2 ,

...,

Sn =

u k = u1 + u2 + · · · + un ,

... .

k=1

k=1

Os números u1 , u2 ,. . . , un , . . . denominam-se termos da