Calculo

1 1. Fun¸ao vetorial de uma vari´vel real: c˜ a (a)defina fun¸ao vetorial, dom´ c˜ ınio e imagem. Fun¸˜o Vetorial: Chamamos de fun¸ao vetorial de uma vari´vel real t, definida em um ca c˜ a intervalo I, a fun¸˜o ca → − f : I → R3 → − t → f (x) → → − − → − → − → − → − Denotamos por f = f (x) , e podemos escrever como f (x) = f1 (t) i + f2 (t) j + f3 (t) k Dom´ ınio: Dom f = {t ∈ R/f (t) ∈ R3 } Imagem: Img f = {v ∈ R3 /∃t ∈ R, f (t) = v} → − − → − − (b) quais s˜o as condi¸˜es sobre f e → para definir f × → e ´ igual a ...? a co g g e → − → → − − → − → − → − → − → − Dadas as fun¸oes vetorias f (t) = f1 (t) i + f2 j + f3 k e g (t) = g1 i + g2 j + g3 k , definidas c˜ → − − para t ∈ I, definimos f × →, como g → → − − i j → → − − →(t) = f × g = − w f1 f2 g1 g2 → − k → − → − → − f3 = (f2 g3 − f3 g2 ) i + (f3 g1 − f1 g3 ) j + (f1 g2 − f2 g1 ) k g3

→ − (c) defina limite de f no ponto t0 . → − Limite: Seja f = f (t) uma fun¸˜o vetorial definida em um intervalo aberto I, contendo t0 , ca → − exceto possivelmete no pr´prio t0 . Dizemos que o limite de f (t) quando t aproxima-se de t0 o ´ → e escrevemos e− a → − − limt→t0 f (t) = → a → − − Se para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que | f (t) − →| < ε sempre que 0 < |t − t0 | < δ a 2. Defina: (a) os vetores unit´rios: tangente, normal principal e binormal. a → − Vetor Tangente: Definimos o vetor tangente unit´rio T como, a → − T (t) =
− → f (t) − → | f (t)|

→ − Vetor Normal principal: Definimos o vetor normal principal unit´rio por N como, a → − N (t) =
− → T (t) − → |T (t)|

→ − Vetor Binormal: O vetor binormal, denotado por B , e ´ definido como o vetor unit´rio e a normal ao plano osculador e ´ dado por e

2 → − → − → − B (t) = T (t) × N (t) (b) curvatura e tor¸˜o. ca Curvatura: Seja C uma curva regular parametrizada por f(t) = f ∈ I. A curvatura de C em um ponto t ∈ I ´ definida por e k(t) =
− → |T (t)| l (t)

Tor¸˜o: Chamaremos de tor¸˜o da curva C em I o n´mero real τ (s) obtido da equa¸ao ca ca u c˜
(t)| τ (t) = − |B