Calculo Numérico

1. INTRODUÇÃO
1.2 Integração Numérica
Em determinadas situações, integrais são difíceis, ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente. Se uma função f(x) é contínua no intervalo [a,b], e a sua primitiva F(x) é conhecida, o integral definido daquela função entre a e b pode ser calculado pela fórmula fundamental do cálculo integral:

1.2.1 Metodos Numéricos:

1.2.2 Formulas de Newton-Côtes:
Utilizam valores de f(x), onde os pontos são igualmente espaçados. São formulas de integração do tipo:

1.2.3 Formulas de Integração: • O uso dessa técnica decorre do fato de por vezes, f(x) ser uma função muito difícil de integrar, contrariamente a um polinômio.
• Conhecer-se o resultado analítico do integral, mas, seu calculo é somente aproximado.
• A única informação sobre o f(x) ser um conjunto de pares ordenados.

1.3 Métodos de integração numéricos mais utilizados

• Fórmulas de Newton-Cotes Fechadas
 Regra dos Trapézios, x0 = a e xn= b
.
• Regra 1/3 de Simpson
 Fórmulas de Newton-Cotes Abertas os xi têm de pertencer ao intervalo aberto de a até b.

1.3.2 Regra dos Trapézios
• Analiticamente
Seja f uma função com derivadas continua até à 2° ordem em [a,b] e p1 o polinômio de grau 1 interpolador de f nos pontos a e b.
Para obtenção desta formula é utilizado o polinômio de Gregory-Newton de 1° grau. Assim, Para se aproximar a função f(x) por um polinômio de 1° grau. São necessários 2 pontos: x0 e x1. Efetuando uma mudança no intervalo de integração, isto é, passando do intervalo [a,b] para [x0, x1], tem-se:

Fazendo a mudança de variável E Obtemos:

Ou Ou Graficamente:
Pelos dois pontos do extremo do intervalo faz-se passar uma reta e o integral de f(x) é aproximado pela área sob esta reta (área de um trapézio).

• Erro de truncadura
A diferença entre o integral exato de f(x) (área sob a curva f(x)) e o integral aproximado (área do trapézio) é o erro de