Calculo Numérico - Taylor e Runge Kutta
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Cálculo Numérico ComputacionalSérie de Taylor e Método de Runge-Kutta
FÓRMULA DE TAYLOR
Seja f uma função e n um número inteiro positivo, tal que a derivada f(n+1)(x) exista para todo x em um intervalo I. Se a e x são números distintos em I. Então existe um número z entre a e x tal que:
( )
( )
( )
(
( )
)
(
( )(
)
)
(
)
(
(
)(
)
)
(
)(
)
A soma dos n+1 primeiros termos do membro direito da equação acima é denominado Polinômio de Taylor (Pn(x)) de grau n de f no ponto a, ou seja:
( )
( )
( )
(
( )
)
(
( )(
)
)
(
)
O último termo da fórmula de Taylor é denominado de resto (Rn), ou seja:
(
( )
(
)(
)
)
(
)(
)
Portanto, o Polinômio de Taylor Pn(x) pode ser escrito como f(x) = Pn(x)+ Rn(x).
Se o valor de Rn(x) for próximo de zero, então uma função f(x) é aproximadamente igual ao Polinômio de Taylor (Pn(x)) de grau n de f no ponto a, ou seja: ( )
( )
Como o |f(x)-Pn(x)|=|Rn(x)|, então o erro existente entre uma função f(x) e o polinômio de Taylor (Pn(x)) é igual ao valor absoluto de Rn(x).
Exemplos:
1) Dada a função ( )
, expanda-a em série de Taylor, com aproximação até terceira ordem, em torno de a = 0 x0 = 0.
- Primeiro passo: calcular f(a) = f(0).
Substituindo 0 na função
( ) temos que
- Segundo passo: calcular f’(0).
( )
,
= 1.
Derivando a função
( )
Obteremos
,
( )
( )
Portanto,
( )
= 1.
- Terceiro passo: calcular f’’(0).
Derivando a função
( )
,
vamos obter
( )
( )
Portanto,
( )
= 1.
- Quarto passo: achar f'''(0).
Derivando a função
( ) vamos obter
,
( )
( )
Portanto,
( )
= 1.
- Quinto passo: substituir f(0), f'(0), f''(0), f'''(0) e a = 0 na fórmula de Taylor, no caso:
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
(
(
( )
)
)
(
)
(
)
E teremos
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)