Calculo numérico - determinantes

Material Didático Notas de Aula Professor Alexandre Souza de Oliveira

I – DETERMINANTES Definição: Determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Aplicações dos determinantes na matemática: Cálculo da matriz inversa; Resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares; Cálculo da área de um triângulo, quando são conhecidas as coordenadas dos vértices. 1. Determinante de primeira ordem Dada uma matriz quadrada de 1 − ordem M= [a 11 ] , chamamos de determinante associado à matriz M o número real a 11 . a Notação: det M ou a 11 = a 11 Exemplos: 1. M 1 = [5] ⇒ det M 1 = 5 ou 5 = 5 2. M 2 = [− 3] ⇒ det M 1 = −3 ou - 3 = −3

2. Determinante de segunda ordem

 a 11 Dada a matriz M=  a 21

a 12  , de ordem 2, por definição, temos que o determinante a 22   a associado a essa matriz, ou seja, o determinante de 2 − ordem é dado por:

a det M =  11 a 21
Assim:

a 12  = a 11 a 22 − (a 12 a 21 ) a 22  

det M = a 11a 22 − (a 12 a 21 )

2 3 Exemplo: Sendo M=   , então:  4 5 det M= 2 3 4 5

= 2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 4 = 10 − 12 = −2

Logo: det M = -2 Conclusão: O determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

3. Menor Complementar
Chamamos de menor complementar relativo ao elemento a ij de uma matriz M, quadrada e de ordem n > 1, o determinante MC ij , de ordem n – 1, associado à matriz obtida de M quando suprimos a linha e a coluna que passam por a ij .

 a 11 a 12  Exemplo 1: Dada a matriz M=   , de ordem 2, para determinarmos o menor a 21 a 22  complementar relativo ao elemento a 11 ( MC11 ), retiramos a linha 1 e a coluna 1;
MC = menor complementar

 a 11 a  21

a 12  , logo, MC11 = a 22 = a 22 a 22  

Da mesma forma temos que o MC relativo ao elemento a 12 é dado por:

 a 11 a  21

a 12  , logo, MC12 = a 21 = a 21 e assim por diante. a 22   a 12 a 22 a 32 a 13  a 23  ,