Calculo Numerico

1.Introdução

Um sistema linear é um conjunto de m equações, com n incógnitas x1, x2, . . ., xn, da seguinte forma:

Os númerossão os coeficientes do sistema linear, e são fornecidos no problema. Os são chamados de termos independentes. Neste tópico veremos apenas os sistemas lineares que tenham tantas equações quanto incógnitas, isto é, m = n. Serão tratados alguns exemplos onde se aplicam sistemas lineares, no Apêndice A analisamos um pouco da teoria envolvida (a relação entre o determinante dos coeficientes do sistema e a existência e unicidade de soluções), no Capítulo 2 será tratada sua solução pelo Método de Escalonamento e no Capítulo 3, finalmente, dois métodos iterativos de resolução dos sistemas lineares serão tratados (o que, infelizmente, só funcionam em certos casos).
1.2 Provetas
Considere o seguinte problema. Quatro tipos de materiais particulados estão distribuídos por quatro provetas, e em cada proveta os materiais são dispostos em camadas, não misturadas, de modo que seja possível medir facilmente o volume de cada material em cada uma delas.
Dado que possamos medir a massa total de cada proveta, e que saibamos a massa da proveta vazia, queremos calcular a densidade de cada um dos materiais.
Para colocar o problema em termos matemáticos, chamemos os materiais de A, B, C e D, e suas densidades respectivas de ρA, ρB, ρC e ρD. Essas são as incógnitas do problema, números que queremos descobrir.
Entre os dados disponíveis para resolvê-lo estão a massa conjunta dos quatro materiais em cada uma das provetas (numeradas de 1 a 4), que chamaremos de m1, m2, m3 e m4, já descontada a tara das provetas.
Além disso, temos o volume de cada um dos Materiais em cada uma das provetas. Chamaremos de v1A, v1B, v1C e v1D o volume dos materiais A, B, C e D na Proveta 1, v2A, v2B, v2C e v2D o volume dos materiais A, B, C e D na Proveta 2, e assim por diante. Como a densidade é a razão entre massa e volume, a massa do material A na Proveta 1 é v1A . ρA. Estendendo