Calculo numerico

Cálculo Numérico  SME0892  ICMC-USP
Lista 5: Método dos Mínimos Quadrados
Professor: Afonso Paiva
1. Seja

f (x) =

1
,
x+2

interno usual em

x ∈ [−1, 1]. Usando o método dos mínimos quadrados e o produto
C([−1, 1]), aproximar a função f (x) por um polinômio do 2◦ grau.
1
, x4 f (x) =

2. Considere a função

x ∈ [0, 1].

f, g =

(a) Mostre que a aplicação

1
0

x2 f (x)g(x)dx

(b) Usando o método dos mínimos quadrados, polinômio do tipo anterior. Obs:

2

P (x) = ax + bx

4

é um produto interno em

aproximar a função

f (x)

C([0, 1]); por um

, usando o produto interno denido no item

{x2 , x4 }.

Note que a base do sub-espaço nesse caso é

3. Utilizando o método dos mínimos quadrados, aproximar a função:

f (x) = x3 − 1

2

, x ∈ [0, 1] ,

por uma parábola, usando o produto interno usual em

C([0, 1]).

4. Determinar, pelo método dos mínimos quadrados, a reta mais próxima dos pontos

(xi , yi )

para a função

y = f (x)

tabelada:

0 x −2 −1 y 0
0 −1

1
0

2
7
1

5. Usando o método dos mínimos quadrados, aproximar

3 grau,
Rn .

um polinômio do interno usual do

◦

usando os valores de

x

f (x) = x 3

no intervalo

[0, 1]

por

com incremento de 0.1 e o produto

6. Dada a função dada pela tabela:

x
0
y −1

1
0

2
3

3 4 5
8 15 24

Usando o método dos mínimos quadrados, aproxime a função amostrada acima por um polinômio do tipo:

P (x) = a + bx3 ,

7. Considere a tabela:

utilizando o produto interno usual do

x −2 −1 y 1 −3

1
1

Rn .

2
9

(a) Pelo método dos mínimos quadrados, a juste à tabela as funções:

g1 (x) = ax2 + bx;

g2 (x) = cx2 + d .

(b) Qual das funções fornece o melhor ajuste segundo o critério dos mínimos quadrados? Justique. (

Dica:

Use o erro de truncamento.)

1