CalA 6 15

6.15 – EXERCÍCIOS – pg. 290
1.

Dar um exemplo de uma função contínua por partes definidas no intervalo [−4,4] .
Muitos exemplos podem ser criados. Segue um deles:
− 1 , - 4 ≤ x < - 2

f ( x) =  x + 2, − 2 ≤ x < 0
 2
 x − 3, 0 ≤ x ≤ 4
14

y

12
10
8
6
4
2

x
-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-2
-4

2.

Calcular a integral das seguintes funções contínuas por partes definidas nos intervalos dados. Fazer o gráfico das funções dadas, verificando que os resultados encontrados são coerentes.
− x 2 , − 2 ≤ x ≤ −1

f ( x ) = − x, − 1 < x ≤ 1
 2
x , 1 < x ≤ 2

a)

I=

∫

−1

−2

1

−1

3 −1

=−

2

− x 2 dx + ∫ − x dx + ∫ x 2 dx

x
3

+
−2

−x
2

1

2 1

3 2

+
−1

x
3

1

1 8 1 1 8 1
− − + + − =0
3 3 2 2 3 3
Segue o gráfico que nos mostra o valor zero ao analisar as áreas acima do eixo dos x e abaixo do eixo dos x.

=

526

y
4
3
2
1

x
-2

-1

1

2

-1
-2
-3
-4

 x, 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) = 
2 x, 1 < x ≤ 2

b)

I=

1

∫ x dx + ∫
0

2

1

2 x dx

1

2 x2 =
+ x2
1
2 0

1
7
+ 4 −1 =
2
2
Segue o gráfico, o valor pode ser observado numa análise geométrica da área assinalada formada por dois triângulos e um retângulo ou um triângulo e um trapézio
1×1
1× 2 7 retângulo: Area =
+ 1× 2 +
= .
2
2
2

=

y
4

3

2

1

x
-1

1

2

3

-1

527

2, − 3 ≤ x ≤ −1

f ( x) = | x |, − 1 < x ≤ 1
2, 1 < x ≤ 3


c)

I=

∫

−1

−3

1

3

2 dx + ∫ x dx + ∫ 2 dx
−1

1

= 2 . 2 +1+ 2 . 2 = 9
Segue o gráfico e o valor pode ser constatado geometricamente pela soma da área de
1×1
dois quadrados com dois triângulos: Área = 2 × 2 2 + 2 ×
=9.
2 y 3

2

1

x
-3

-2

-1

1

2

3

-1

3. Calcular a integral das seguintes funções contínuas por partes.

π

sen 2 x, 0 ≤ x ≤

2 f ( x) = 
1 + cos x, π < x ≤ π

2

a)

I=

∫

π

2
0

π

sen 2 x dx + ∫π (1 + cos x ) dx
2

π
2
1 π = − cos 2 x + ( x + sen x ) π
2
2
0

1
[cos π − cos 0] +  π + sen π − π − sen π 
2
2
2

1
π
= − [− 1 − 1] + − 1
2
2
=−

= 1+

π
2

−1 =

π
2

528

 1
,0≤ x≤2

f ( x) =  x + 1
( x − 1)2 , 2 < x ≤ 4


b)

I=

∫

2