Axiomas

Algumas Possibilidades de Interpretação de um Sistema de Axiomas

Os axiomas podem ser tidos (i) como convenções ou ser encarados (ii) como hipóteses empíricas ou cinetíficas.
(i) Se os axiomas forem vistos como convenções, restringirão o uso ou significado das idéias fundamentais que os axiomas introduzem; determinarão o que pode e o que nçao pode ser dito acerca dessas idéias fundamentais. Os axiomas, por vezes, são apresentados como “definições implícitas” das idéias que introduzem. Essa concepção se elucidará, talvez, se recorrermos a uma analogia entre um sistema axiomático e um sistema de equações compatíveis e solúveis.

Os valores admissíveis para as “incógnitas” são determinados pelo sistema. O sistema de equações caracteriza como admissíveis certas combinações de valores ou sistemas de valores; e dá outras combinações por inadmissíveis.
(ii) Cabe perguntar: como pode um sistema axiomático ser interpretado em termos de sistema de hipóteses empíricas ou científicas? Usualmente se diz que ois termos primitivos presentes num sistema axiomático não devem ser encarados como implicitamente definidos, mas como “constantes extralógicas”. Dessa maneira, admite-se, os enunciados do sistema axiomático se transformam em enunciados acerca de objetos empíricos, ou seja, em enunciados sintéticos.

Eles só podem ser definidos (se puderem sê-lo) explicitamente com o auxílio de outros nomes universais; do contrário, hão de permanecer indefinidos. Pode haver possibilidade de definir os conceitos fundamentais do novo sistema com auxílio de conceitos originalmente usados em alguns dos sistemas anteriores.

Níveis de Universalidade. O Modus Tollens

Dentro de um sistema teórico, é possível distinguir enunciados que pertencem a vários níveis de universalidade. Os enunciados de mais alto nível de universalidade são os axiomas; deles podem ser deduzidos enunciados de níveis mais baixos. Enunciados empíricos de nível alto revestem sempre o caráter de hióteses.
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