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Lista 1 - Teoria de Grupos - 2014
Professor: Marcelo Muniz Alves
Turma: Matem´tica Noturno a Data: 24/02/2014

1. Nos itens abaixo, verifique se a opera¸˜o est´ definida no conjunto X dado (algumas n˜o est˜o) ca a a a e verifique se satisfazem (i) associatividade, (ii) comutatividade, (ii) elemento neutro, e valendo
(iii), (iv) existˆncia de inverso para cada elemento do conjunto. e A opera¸˜o ser´ sempre denotada por “∗”. ca a
(a) X = Z, a ∗ b = a + b.
(b) X = Z, a ∗ b = ab (produto de inteiros).
(c) X = N (=inteiros positivos), a ∗ b = mdc(a, b).
(d) X = Z, a ∗ b = a − b
(e) X = Z, a ∗ b = a + b − 5.
(f) X = {f : [0, 1] → R}, (f ∗ g)(x) = max{f (x), g(x)}
(g) X = {f : [0, 1] → [0, 1]}, (f ∗ g)(x) = max{f (x), g(x)}
(h) X = Q, a ∗ b = ab .
(i) X = R, a ∗ b = ab .
2. Um semigrupo com unidade, ou mon´ide, ´ um conjunto S com uma opera¸˜o ∗ : S ×S → S o e ca tal que
(i) x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z (associatividade)
(ii) Existe e ∈ S tal que x ∗ e = e ∗ x = x para todo x ∈ S (elemento neutro = unidade do semigrupo). (a) Verifique que N = {n ∈ Z; n ≥ 0} ´ um semigrupo com a opera¸˜o de soma. e ca
(b) Verifique que N = {n ∈ Z; n ≥ 0} ´ um semigrupo com a opera¸˜o de multiplica¸˜o. e ca ca (c) Mostre que se A ´ um anel ent˜o (A, ·) ´ um semigrupo. e a e (d) Um subsemigrupo T de um semigrupo S ´ um subconjunto de S que cont´m o neutro de e e n ; n ≥ 0} ´ um subsemigrupo
S e que ´ fechado para a opera¸˜o de S. Mostre que T = {2 e ca e de (N, ·).
3. Sejam S, T semigrupos e suponha que ϕ : S → T ´ uma aplica¸˜o que satisfaz e ca
(i) ϕ(x ∗ y) = ϕ(x) ∗ ϕ(y), para todos x, y ∈ S, e
(ii) ϕ(eS ) = eT .
Prove que
(a) Se S ´ um subsemigrupo de S ent˜o a imagem de S por ϕ, e a ϕ(S ) = {ϕ(x) ∈ T ; x ∈ S }
´ um subsemigrupo de T . e (b) se T ´ subsemigrupo de T ent˜o e a
S = {x ∈ S; ϕ(x) ∈ T }
´ um subsemigrupo de S. e 4. Determine quais dos seguintes subconjuntos de n´meros complexos ´ subgrupo de (C, +) ou de u e