Aula3 Sistemas Lineares Parte 2 2

Sistemas Lineares
Parte 2
Métodos Iterativos

Introdução
 Métodos

diretos: eliminação por Gauss, fatoração LU, fatoração de Cholesky, ...
Fornecem solução de qualquer sistema.
Para minimizar problemas de arredondamento, adota-se o pivoteamento.
 Métodos iterativos: podem ser mais rápidos e necessitar de menos memória do computador. Fornecem seqüências que convergem para a solução sob certas condições. Introdução n A x b um sistema linear de ordem
.
A idéia é generalizar o método do ponto fixo, escrevendo o sistema linear na forma x C x  g onde C é uma matriz de ordem n e g é um vetor coluna n 1 .
(0)
 Dado um vetor aproximação inicial x , cons(1)
( 0) truímos iterativamente: x C x  g x ( 2) C x (1)  g
 Seja

Introdução
Se a seqüência x

( 0)

, x

(1)

, ....., x

(k )

convergir

Lim x ( k ) C x ( k  1)  g  k grande

Então  é a solução do sistema linear

A x b com

x 

Teste de Parada
(k )

Se a seqüência x estiver suficientemente
( k  1) próximo de x paramos o processo.
 Dada um precisão  , quando

d

(k )

MAX
1i n

k xi 

k1 xi 

(k ) x então é a solução do sistema linear.
 Computacionalmente, um número máximo de iterações também é critério de parada.

MÉTODOS ITERATIVOS
MÉTODO DE GAUSS-JACOBI
Seja o sistema linear

a11 x1  a12 x 2  a13 x3  ......  a1n x n b1 a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x3  ......  a 2 n x n b2
.........................................................
a n1 x1  a n 2 x 2  a n 3 x3  ......  a nn x n bn
Se a ii 0 para i 1...n podemos isolar x C x  g por separação da diagonal.

MÉTODOS ITERATIVOS
MÉTODO DE GAUSS-JACOBI
Iterativamente, o sistema reescreve-se como: x1 ( k 1)

x2

( k 1)

1
(k )
(k )
(k )

b1  a12 x 2  a13 x3  ......  a1n x n a11 



1
(k )
(k )
(k )

b2  a 21 x1  a 23 x3  ......  a 2 n x n a 22





.........................................................
1
( k 1)
(k )
(k )
(k ) xn  bn  a n1 x1  a n 2 x 2  ......  a n ,n  1 x n  1 a nn





MÉTODOS