ATPS Calculo III - ETAPA 1 e 2

ETAPA 3
Passo 1
Calculando áreas com uma curva
Para calcularmos áreas de figuras como um quadrado, triângulos, retângulo, trapézios, losangos basta relacionarmos os figuras as formulas matemáticas e realizarmos os cálculos. Já nas regiões existentes sob uma curva é necessário que utilizemos as noções de Integração.
Uma curva pode ser representada algebricamente através de uma função. A integral de uma função serve para determinar áreas sob uma curva em um plano cartesiano.
Observe a figura a seguir:

Temos uma área chamada de “S” e para calcular a mesma iremos utilizar a integral de uma função f na variável x, contida no intervalo entre a e b.

A expressão acima tem como ideia principal dividir a área demarcada em infinitos retângulos, a integral f(x) representa a soma dos retângulos formados por altura f(x) e base dx, sendo o produto de f(x) por dx a área de cada retângulo, a soma dos retângulos é a área total da superfície sob a curva.

Após a resolução da integral no intervalo a e b teremos a expressão a seguir.

Exemplo:
Expressão: f(x) = -x² + 4, no intervalo [-2,2].

Determine a área usando a seguinte regra de integração.

A área delimitada pela função f(x) = -x²+4, entre o intervalo -2 a 2 é 10,6 unidades de área.
Calculando áreas com duas curvas ou mais
A integral definida também pode ser utilizada para calcular área entre duas curvas ou mais, que estejam no mesmo plano cartesiano. Temos duas funções f(x) e g(x), em um intervalo [a,b], sendo f(x) ≥ g(x) para um intervalo a ≤ x ≤ b. Podemos utilizar a seguinte formula para calcular a área limitada.

Particularmente se ambas funções f(x) e g(x) estiverem acima do eixo x, a formula representa a diferença da área entre a função superior e o eixo e também da função inferior e o eixo. È fundamental termos os valores de a e b para calcularmos a integral definida, muitas vezes podem ser somente dadas às leis das funções, como no caso a cima f(x) ≥ g(x), neste caso f(x) está acima da função g(x) e pode ser