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Páginas: 31 (7595 palavras) Publicado: 1 de dezembro de 2014
5 – Transformadas de Laplace

J. A. M. Felippe de Souza

5 – Transformadas de
Laplace
5.1 – Introdução às Transformadas de Laplace

4

5.2 – Transformadas de Laplace – definição

5

5.2 – Transformadas de Laplace de sinais conhecidos

6

Sinal exponencial

6

Exemplo 5.1

7

Sinal impulso unitário uo(t)

7

Sinal degrau unitário u1(t)

8

Sinal rampa unitáriau2(t)

9

Sinal semi-parabólico u3(t)

9

Os demais sinais singulares un(t)

10

Os sinais seno e co-seno

10

5.4 – Propriedades da Transformada de Laplace

11

Homogeneidade

11

Aditividade

11

Linearidade

11

Sinal transladado (“time shifting”)

11
-at

Sinal multiplicado por exponencial e

11

Derivadas

12

Integral

13

Mudança de escala dotempo (“time scaling”)

13

1

5 – Transformadas de Laplace

J. A. M. Felippe de Souza

Sinal multiplicado por t

14

Sinal multiplicado por 1/t

14

Convolução

14

5.5 – Teorema do Valor Inicial (TVI) e o Teorema do Valor Final (TVF)

15

Teorema do Valor Inicial (TVI)

15

Teorema do Valor Final (TVF)

15

Exemplo 5.2

15

Exemplo 5.3

16

Exemplo 5.416

Exemplo 5.5

17

Exemplo 5.6

17

5.6 – Alguns exemplos de Transformadas de Laplace

18

Exemplo 5.7

18

Exemplo 5.8

18

Exemplo 5.9

19

Exemplo 5.10

19

Exemplo 5.11

20

Exemplo 5.12

21

Exemplo 5.13

21

Exemplo 5.14

21

Exemplo 5.15

23

Exemplo 5.16

24

Exemplo 5.17

25

5.7 – Tabela da Transformada de Laplace de algunssinais conhecidos

26

5.8 – A Transformada Inversa de Laplace

27

Caso 1 – Pólos reais e distintos

28

Caso 2 – Pólos complexos conjugados

28

Caso 1 – Pólos múltiplos (duplos, triplos, etc.)

28

2

5 – Transformadas de Laplace

J. A. M. Felippe de Souza

Exemplo 5.18

30

Exemplo 5.19

31

Exemplo 5.20

31

Exemplo 5.21

33

5.9 – Solução EDO usandoTransformadas de Laplace

34

Exemplo 5.22

35

Exemplo 5.23

37

Exemplo 5.24

38

5.10 – A reposta impulsional h(t) e H(s)

39

Exemplo 5.25

40

Exemplo 5.26

42

Exemplo 5.27

43

3

5 – Transformadas de Laplace

J. A. M. Felippe de Souza

Transformadas de Laplace
5.1 – Introdução às Transformadas de Laplace
Neste capítulo estudaremos as Transformadas deLaplace. Elas apresentam uma representação de sinais no domínio da frequência em função de uma variável “s” que é
um complexo, s = σ + jω.
A Transformada de Laplace foi desenvolvida pelo matemático francês Pierre Simon
Laplace (1749-1827).

Fig. 5.1 – Pierre Simon Laplace (1749-1827), francês.

4

5 – Transformadas de Laplace

J. A. M. Felippe de Souza

5.2 – Transformadas de Laplace– definição
Considere um sinal contínuo x(t)
x(t) ∈ C {conjunto dos números complexos}
ou seja, o sinal x(t) pode ter valores complexos, i.e., valores com parte real e com
parte imaginária.
A Transformada de Laplace deste sinal x(t), normalmente simbolizada por:
L { x(t) }

ou

X(s)

permite expressar o sinal x(t) como:

L ሾxሺtሻሿ ൌ Xሺsሻ ൌ ‫׬‬଴ ݁ ିୱ୲ · xሺtሻ dt


eq. (5.1)

Aeq. (5.1) acima é chamada de transformada unilateral pois é definida para sinais
x(t) onde
x(t) = 0
para t < 0
e é a definição de Transformada de Laplace adoptada aqui pois é esta a que tem
maior aplicação para sistemas dinâmicos.

Fig. 5.2 – Um sinal x(t) com valor nulo para t < 0 [i.e., x(t) = 0 para t < 0].
Além desta definição de Transformada de Laplace unilateral (para t ≥ 0) queadoptamos aqui, há também a Transformada de Laplace bilateral (definida para ∀t, ou seja:
t < 0 e t ≥ 0).

5

5 – Transformadas de Laplace

J. A. M. Felippe de Souza

5.3 – Transformadas de Laplace de alguns sinais conhecidos
Sinal exponencial
Como primeiro exemplo vamos utilizar o sinal exponencial

xሺtሻ ൌ ݁ ିୟ୲ · uଵ ሺtሻ

eq. (5.2)

Para um dado valor de a este sinal xሺtሻ da eq....
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