Area do triangulo de Reuleaux

Cálculo da área de um triângulo de Releaux
I.
A área de um arco de circunferência é igual à:

(α.r2 )/2 , onde α é o ângulo do arco expresso em radianos e é o r raio do círculo. Um arco é formado por dois segmentos de reta que vão do centro da circunferência e por parte da própria circunferência. II.
Partindo de que a soma dos ângulos de um triângulo é

sempre 180° ( π , pi em radianos) e que todos os ângulos de um triângulo equilátero são iguais, temos que o ângulo de um dos arcos do triângulo de Reuleaux é 60° ou π/3 em radianos.

III.
Substituindo
II em I temos para a área do arco do triângulo de Reuleaux: ((π/3).r2 )/2 , que é igual à (π.r2 )/6

IV.
A área de um triângulo é

(b.h)/2 , onde b é o comprimento da base e h a altura.

V'.
(Usando trigonometia) A altura de um triângulo equilátero é: b*seno(60°). Seno é a

relação entre um cateto oposto e a hipotenusa, como a hipotenusa do triângulo retângulo formado por um dos lados do triângulo equilátero, por sua altura e por metade de sua base e o ângulo formado entre a hipotenusa e a base do triângulo equilátero é de 60°, temos que seno(60°) = h/b, daí encontramos a altura do triângulo equilátero : h = b*seno(60°). O seno de 60° é igual à (√3)/2 , logo a altura do triângulo equilátero é (b.√3)/2 .

V".
(Usando Pitágoras) Tomando um triângulo retângulo formado por um dos lados do

triângulo equilátero, por metade de sua base e pela altura do mesmo e substituino estes valores no teorema de pitágoras ( a2 = b2 + c2 ) temos: b2 = (b/2)2 + h2 , onde b é a base ou o lado do triângulo equilátero e h é a sua altura. Isolando h temos: h2 = b2 − (b2 )/4 que é equivalente à h2 = (3.b2 )/4 , e, por fim temos: h = (b.√3)/2 .

VI.
Substituindo
V em IV
, temos que a área de um triângulo equilátero é igual à

(b.(b.√3)/2)/2

, que é equivalente à (b2 .√3)/4 .

VII.
A área compreendida entre a corda e a secante (que, no caso específico, é um dos

lados do triângulo equilátero) é igual