Apostila integral tripla

34 7 – Integral Tripla 7.1 – Definição Seja w = f(x,y,z) uma função de três variáveis definida numa região fechada e limitada T do espaço xyz. Se subdividirmos T em pequenas sub-regiões traçando planos paralelos aos planos coordenados.

Numeramos os paralelepípedos no interior de T de 1 a n. Em cada um dos pequenos paralelepípedos Tk, escolhemos um ponto arbitrário (xk, yk, zk). Formamos a soma

∑ f ( x , y , z )∆V k k k k =1

n

k

,

onde ∆Vk é o volume do paralelepípedo Tk. Fazemos isso de maneira arbitrária, mas de tal forma que a maior aresta dos paralepípedos Tk tende a zero quando n → ∞ . Se existir lim ∑ f ( xk , yk , z k )∆Vk , ele é chamado de integral tripla da k =1 n

n →∞

função f(x, y, z) sobre a região T e representamos por

∫∫∫ fdV
T

ou

∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz .
T

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7.2 – Propriedades
De forma análoga à integral dupla, temos: a) ∫∫∫ kfdV = k ∫∫∫ fdV
T T 1

b) c)

∫∫∫ ( f
T
T

+ f 2 )dV =

∫∫∫ f dV + ∫∫∫ f dV
1 2 T T

∫∫∫ fdV = ∫∫∫ fdV + ∫∫∫ fdV ,
T1 T2

onde T = T1 ∪ T2

7.3 – Cálculo da integral tripla
Podem ser calculadas através de integrações sucessivas, reduzindo-a inicialmente a uma integral dupla. Podemos ter diversas situações:

1º caso) A região T é delimitada inferiormente pelo gráfico da função z = h1(x, y) e superiormente pelo gráfico de z = h2(x, y), onde h1 e h2 são funções contínuas sobre a região R do plano xy.

Nesse caso, temos

 h2 ( x , y )  f ( x, y, z )dV = ∫∫  ∫ f ( x, y, z )dz  dxdy ∫∫∫  T R  h1 ( x , y )  

 f ( x ) ≤ y ≤ f 2 ( x ) Se a região R for do tipo R :  1  , a integral tripla iterada será: a≤ x≤b  

∫∫∫ f ( x, y, z)dV = ∫ ∫
T a

b

f 2 ( x)

h2 ( x , y )

∫ f ( x, y, z )dzdydx

f1 ( x )

h1 ( x , y )

2º caso) A região T é delimitada à esquerda pelo gráfico da função y = p1(x, z) e à direita pelo gráfico de y = p2(x, z), onde p1 e p2 são funções contínuas sobre a região R’ do plano xz.

A figura mostra a situação: