Aplicação de derivadas definidas

TÍTULO: APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA

Introdução

Estudando as aplicações da integral definida (ou integral de Riemann) percebe-se sua importância e temos noção dos quase infinitos meios de utilizações que podemos fazer com a integração, que é uma das ferramentas mais utilizadas de estudo algébrico e numérico dentro da matemática.

A integração fornece meios de calcular e avaliar diversos problemas complexos.

Das aplicações da integração, iniciaremos o estudo de áreas em superfícies planas delimitadas por curvas, depois calcularemos volumes de objetos curvos, e poderemos também, calcular comprimentos de curvas definidas for funções em um gráfico de coordenadas cartesianas.

Desenvolvimento

Área sob Uma Curva
Para calcular a área (a ate c) sob duas curvas devemos proceder a subtração entre a área delimitada pela parábola superior f(x)(que esta marcada de azul) e a área delimitada pela parábola inferior g(x)(marcada de vermelho) a área (c ate b) fazemos a parábola g(x) menos F(x), façamos todo o processo utilizando integração para que possamos ter um processo universal para o calculo de áreas desse tipo.
Calculemos as integrais:

Muitas vezes os problemas ficam mais simples de resolver se integramos em relação a y e não em relação a x. Podemos repetir o processo de partição num intervalo que fica no eixo dos y e a obtenção das somas de Riemann.
Seja R a região plana limitada pela direita pela função x = M(y), pela esquerda por x = N(y) e pelas retas y = c e y = d.

Não é difícil provar que se as funções M(y) e N(y) são contínuas em [c, d], então:

Por isso, para resolver os problemas de área é sempre indicado fazer o desenho da região correspondente.

Cálculo do centróide
O centróide de uma região plana (R) é definido como o centro de massa da região. O centro de massa é o ponto pelo qual esta região R pode ser suspensa sem girar.
As coordenadas ( x , y ) do centróide são dadas por: x=1Ax1x2fx-gxxdx y=12Ax1x2f2x-g2xxdx
Média ou