Análise Matemática

CHAPTER 2

Sequˆncias e 1. Aula 25/8/2014: Sequˆncias de Cauchy e Uma sequˆncia ´ chamada de Cauchy se seus termos de ordem grande est˜o e e a cada vez mais pr´ximos entre s´ A acuidade deste conceito ´ traduzida rigorosao
ı.
e mente pela seguinte senten¸a: Para cada � > 0 ´ poss´ encontrar um ´ c e ıvel ındice n0 tal que |xn − xm | < � para ´ ındices m, n ≥ n0 . As sequˆncias de Cauchy carace terizam as sequˆncias convergentes e nos d˜o crit´rios importantes para fazermos e a e constru¸˜es matem´ticas. Veremos como isto aplica-se a constru¸˜o da fun¸˜o exco a ca ca ponencial na reta e no plano complexo. Desse modo podemos estabeler a equa¸˜o de ca Euler e assim mostrar o relacionamento que existe entre a exponencial e as fun¸˜es co trigonom´tricas. Primeiro vamos estabelecer a equivalˆncia entre sequˆncias cone e e vergentes e de Cauchy. Depois aplicaremos este conceito na constru¸˜o de fun¸˜es. ca co
As squˆncias convergentes possuem os seus valores grandes pr´ximos um dos e o outros pois se acumulam em seu limite. Isto nos induz a deduzir que toda sequˆncia e convergente ´ tamb´m uma sequˆncia de Cauchy. Este fato ´ f´cil de estabelecer. e e e e a
A convergˆncia nos garante que escolhido � > 0 ´ poss´ encontrar um ´ e e ıvel ındice n0 tal que |xn − L| < �/2 para todo n ≥ n0 onde L = lim xn . Se m, n ≥ n0 teremos

(1)

|xn − xm |

=

|xn − L| + |xm − L|
�
�
+ = �, m, n ≥ n0 .
<
(3)
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Seria poss´ existir uma sequˆncia de Cauchy que n˜o ´ convergente? Veremos a ıvel e a e seguir que isto n˜o ´ poss´ a e ıvel. As sequˆncias convergentes s˜o sempre limitadas. Com efeito, se lim xn = L e a ent˜o (tomando � = 1) existe n0 tal que se n ≥ n0 teremos |xn − L| < 1. Segue-se a de
|xn | − |L| ≤ |xn − L| < 1, ou |xn | < |L| + 1, n ≥ n0 , que o n´mero C = max{|x1 |, · · · , |xn0 |, |L| + 1} satisfaz |xn | ≤ C para todo n = u 1, 2, · · · . As sequˆncias de Cauchy tamb´m s˜o limitadas. Basta