Analise e desenvolvimento de sistema

Matemática Computacional Álgebra Booleana – parte II
1º Período – ADS

Introdução
 Comparando o universo das proposições, com os relacionamentos da disjunção e da conjunção e suas propriedades;

 o universo dos conjuntos, com os relacionamentos da união e interseção e suas propriedades;
 e o universo dos interruptores, com os relacionamentos “em paralelo” e “em série” e suas propriedades, o que notamos?  Apesar dos objetos dos três universos serem diferentes, algo similar é comum a todos, a saber, as propriedades inerentes aos relacionamentos.  Existe então uma mesma interioridade da qual emanam as propriedades.  Essa essencialidade é denominada uma estrutura matemática.  Se prescindimos dos particulares objetos pertencentes a um determinado universo mantendo os relacionamentos e as propriedades, podemos definir uma estrutura geral (abstrata), ou seja, o conceito que expressa a essencialidade; e é o que faremos a seguir.

Sistemas Algébricos
 Denominamos sistema algébrico (álgebra abstrata) um conjunto não vazio A, sobre o qual são definidas, duas ou mais operações binárias.  Para o nosso escopo, trabalharemos com duas operações binárias, e denotaremos uma álgebra por (A,+,.), onde os sinais + e . indicam as duas operações, seguir, apresentaremos a álgebra que dá nome a este capítulo, a qual é uma das mais importantes frutíferas da modernidade, a álgebra booleana.

Álgebra Booleana
 Uma álgebra booleana consiste em um conjunto não vazio B, sobre o qual são definidas duas operações binárias, denotadas por + e •, as quais satisfazem as propriedades (axiomas) enunciadas seguir.  Para quaisquer a, b, c pertencentes a B, valem:

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

a.b = b.a (comutativa) a-b = b-a (comutativa) (a+b)+c = a+(b+c) (associativa) (a.b).c = a.(b.c) (associativa) a+(b.c) = (a+b).(a+c) (distributiva) a.(b+c) = a.b + a.c (distributiva) Existe 0 ∈ B tal que a+0 = 0+a = a (identidade) Existe 1 ∈B tal que a.1 = 1.a = a (identidade)