Algumas aplicações de integração

IFMT - CAMPUS CEL. OCTAYDE JORGE DA SILVA DEPARTAMENTO DE ÁREA DE CONSTRUÇÃO CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO

Algumas aplicações de integração
Prof. Figueiredo

Aplicação
Áreas hachuradas entre a curva e o eixo x: Área total hachurada=  f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx a b c b c d

27/05/2011

2

Exemplo 1
Determine a área entre a curva y  x3  2 x 2  8x

y  x  2 x 2  8 x  x( x 2  2 x  8)  x( x  2)( x  4) A curva cruza o eixo x no ponto zero, -2 e 4, visto que a função é contínua apenas um valor coordenado necessita ser calculado antes do esboço da curva. Para x=1, temos y=-9. Isso bem demonstra que a curva entre x=0 e x=4 é negativa.
3

27/05/2011

3

x³-2x²-8x

5

0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5

-10

-15

-20

27/05/2011

4

27/05/2011

5

Determinação da área para os limites -2 a 4

0 2

( x  2 x  8 x) dx   ( x  2 x  8 x) dx
3
2

4

3

2

0

 x 4 2 x 3 8x 2      2  4 3

0

2

 x 4 2 x 3 8x 2      2  4 3

4

0

2 1  2    6    42   49 unidades quadradas 3 3  3 

27/05/2011

6

Exemplo 2
Determine a área enclausurada entre as curvas y  x 2  1e y  7  x. Os pontos das interesecções, por óbvio, são iguais para ambas as curvas. Assim, equacionando os valores de y de cada curva temos: x2  1  7  x x2  x  6  0 ( x  2)( x  3)  0 Para y  0, x  2 e x  -3

27/05/2011

7

14

12

10

8 x²+1 6 7-x

4

2

0 -5
27/05/2011 -4

-3

-2

-1

0 1

2

3

4

5

8

27/05/2011

9

Exemplo 2
Área enclausurada entre as duas curvas   (7  x) dx   ( x 2  1) dx
3 3 2 2



2

3

(7  x) dx   ( x  1) dx   (7  x)  ( x 2  1) dx
2 3 3 2 2

2

2

2 3  x x   (6  x  x ) dx  6 x    2 3 
2 3

3

8  9   1  1 5   12  2     18   9    7    13   20 u.q. 3  2   3  2 6 

27/05/2011

10

Exemplo 3
Determine a área