Ajuste de Curvas (Calculo Numérico)

Páginas: 7 (1539 palavras) Publicado: 23 de maio de 2014
Capítulo 5: Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados

1. Diagrama de dispersão
No capítulo anterior estudamos uma forma de lidar com funções
matemáticas definidas por uma tabela de valores. Frequentemente, no
entanto, estas tabelas são obtidas com base em dados experimentais
contendo erros inerentes ao método de medição utilizado.
Para ilustrar o problema, considere-se uma sériede medições de
natureza física (xi,yi), i=0,...,n, onde cada yi foi obtido experimentalmente
e aproxima o valor de uma função no ponto xi, i.e., yi≅f(xi).
Estes valores podem representar-se num gráfico cartesiano formando
uma “nuvem de pontos”, a este gráfico chamamos diagrama de
dispersão.
Exemplo
90

80

70

60

50

40

30
20

40

60

80

100

120

140

160Figura 1: Diagrama de dispersão
A relação funcional y=f(x) pode ser completamente desconhecida e a
sua forma sugerida pelo gráfico dos pontos, consistindo o problema na
procura da curva y=g(x) que melhor se ajusta, num dado sentido, à
“nuvem de pontos” observada. Nestas condições a função g(x) diz-se uma
aproximação da relação funcional desconhecida y=f(x).

1

Como os valores tabeladosnão são “exactos” não é razoável nestes
casos utilizar interpolação, ou seja, exigir que a função aproximante
satisfaça exactamente os dados. De facto, em vez de recorrer a um
polinómio que passe exactamente por todos os pares de valores (xi,f(xi)),
i=0,..,n, uma melhor abordagem será a fazer passar a função aproximante,
g(x), o mais próximo possível dos pontos (xi,f(xi)), i=0,..,n.

2.Rectas de regressão. Coeficiente de determinação e resíduos
O modelo mais simples que relaciona duas variáveis x e y é dado por
y=β0+β1x
que é a equação de uma recta. β0 e β1 são os parâmetros do modelo.
Consideremos o seguinte diagrama de dispersão
2

1

0

-1

-2
-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 2: Diagrama de dispersão e recta ajustada
Econsideremos uma recta arbitrária, y=β0+β1x, desenhada no diagrama.
A xi chamamos valor da variável explicativa ou independente e à imagem
ˆ
de xi pela recta y=β0+β1x chamamos valor predito, que denotamos por yi ,

yi é o valor da variável resposta ou dependente.

2

ˆ
ˆ
A diferença entre yi e yi , i.e., d i = yi − yi chama-se desvio e é a

distância vertical do ponto à linha recta. Seconsideramos a soma dos
quadrados dos desvios anteriores, i.e.,

D=

n

∑ d i2

i =1

obtemos uma medida do desvio total dos pontos observados à recta
estimada.
A medida anterior depende da recta considerada, ou seja depende de β0
e β1. Assim, podemos escrever
n

n

i =1

i =1

ˆ
D ( β 0 , β1 ) = ∑ d i2 = ∑ ( yi − yi ) 2
n

n

i =1

ou ainda,

i =1

D ( β 0 , β1 ) = ∑d i2 = ∑ ( yi − ( β 0 + β1 xi )) 2 .

Pretendemos então os valores de β0 e β1 que minimizem D(β0, β1), i.e.,
pretendemos o valo mínimo de D(β0, β1).
Um modo de estimar os coeficientes β0 e β1 é determinar o mínimo da
função D(β0,β1) em relação a β0 e β1 e resolver as equações normais.
Temos então que:
n

n

i =1

i =1

D ( β 0 , β1 ) = ∑ d i2 = ∑ ( yi − β 0 − β1 xi ) 2

e

∂D(β 0 , β1 ) n
= ∑ − 2( yi − β 0 − β1 xi )
∂β 0
i =1
∂D( β 0 , β1 ) n
= ∑ − 2 x i ( y i − β 0 − β 1 xi )
∂β1
i =1

3

Os valores de b0 e b1 para os quais a função D(β0,β1) apresenta um valor
mínimo são obtidos igualando as equações anteriores a zero, i.e.,
resolvendo as equações normais. Assim,
n
n

⎧n
⎪− 2 ∑ ( yi − β 0 − β1 xi ) = 0
⎪∑ yi − nb0 − b1 ∑ xi = 0
⎪ i =1

i =1
⇔⎨i =1

(1) ⎨
n
n
n
n
⎪− 2 ( y x − β x − β x 2 ) = 0
⎪ y x −b
2
0 i
1 i
⎪ ∑ i i
⎪∑ i i 0 ∑ xi − b1 ∑ xi = 0
i =1
i =1
⎩ i =1
⎩i =1

n
n

yi − b1 ∑ xi


i =1
⎪b = i =1
⎪ 0
n



n
n
n
n

∑ xi ∑ yi − b1 ∑ xi ∑ xi
n
n

i =1 i =1
− b1 ∑ xi2 − i =1 i =1
= − ∑ xi yi

n

i =1
i =1


⎧ __________

2

n
n
n
⇔ ⎨ ⎛ n 2 1⎛ n ⎞ ⎞

⎜ x...
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