agua
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Integração Numérica 1Se uma função f ( x ) é contínua em um intervalo [ a ,b ] e sua primitiva F(x) é conhecida, então b f ( x)dx F (b) F (a) onde F'( x )=
f ( x ).
a
Por outro lado, nem sempre se tem F ( x ) e em alguns casos, a função a ser integrada é dada por meio de tabela de pontos. Neste caso, torna-se necessária a utilização de métodos numéricos.
A idéia básica da integração numérica é a substituição da função f ( x ) por um polinômio que a aproxime no intervalo [ a ,b ]. Assim o problema fica resolvido pela integração de polinômios, o que é trivial de se fazer.
Fórmulas de Newton-Cotes
Neste caso, o polinômio que interpola f ( x ) o faz em pontos igualmente espaçados de [ a ,b ]. b Fórmulas fechadas: x1 = a , xn+1 =b e
n 1
f x dx Ai f xi , sendo Ai coeficientes determinados i 1
a
de acordo com o grau do polinômio aproximado.
Regra dos Trapézios
A integral de f (x) no intervalo [a ,b] é aproximada pela área de um trapézio. b h
f x dx 2 f x1 f x2 a A aproximação de f ( x ) pela fórmula de Lagrange é p1(x)=y1L1(x)+ y2L2(x) com L1
L2
x x2 e x1 x2
x x1 x2 x1
7
Exemplo:
f x dx
1
60
50
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Regra dos Trapézios Repetida
Como podemos ver graficamente, se o intervalo de integração é grande, a fórmula dos Trapézios nos fornece resultados que pouco têm a ver com o valor da integral exata. O que podemos fazer neste caso é uma subdivisão do intervalo de integração e aplicar a regra dos Trapézios repetidas vezes.
b
f x dx
a
n h f x1 2 f xi f xn 1
2 i 2
7
Exemplo:
f x dx
1
60
50
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Exemplo
1
I e x dx :Calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos e a regra dos trapézios repetida.
0
(Utilize 4 casas) x1 x2