Abelhas

A MATEMÁTICA DAS ABELHAS
José Cloves Saraiva - UFMA
 Nível Avançado

As abelhas constróem colméias para reservar o mel e para o desenvolvimento e reprodução da sua própria espécie. Cada alvéolo tem a forma de um prisma reto hexagonal fechado numa das extremidades por uma cobertura de três losângos de forma que o volume é máximo enquanto a área lateral total (incluindo a cobertura) é fixada. Com isso as abelhas fazem o menor gasto de cera na construção das paredes peliculares que o constituem. Nesta construção econômica cada parede serve para dois alvéolos contíguos, o que motiva a escolha de prismas retos com seção transversal poligonal regular, como nas figuras abaixo:

É fácil ver que as formas prismáticas com seção transversal um polígono regular de n lados que podem ser usadas para cobrir o espaçõ determinadas pela condição de que é um número inteiro positivo, onde In é o ângulo interno de um polígono regular.

Podemos escrever que é um inteiro positivo se e só se n ­ – 2 é um divisor de 4, logo devemos ter n = 3, n = 4 ou n = 6 como mostra a figura acima. Por um cálculo volumétrico simples das três posibilidades acima observando o mesmo volume, ou escolhendo a forma mais convexa, das três acima indicadas a escolha das abelhas pela forma hexagonal é de fato a mais econômica (dentre um triângulo, um quadrado e um hexágono regulares de mesmo perímetro o hexágono tem a maior área.)

Eis como as abelhas colocam os seus alvéolos hexagonais. Esses alvéolos, para maior economia de material , são fechados por três losangos iguais. O valor constante do melhor ângulo agudo de um losango de fechamento causou sério debate entre teólogos, naturalistas e matemáticos.

O problema que as abelhas resolvem pode ser abordado, sem grande dificuldade, com os recursos da Matemática elementar. Como mostra a figura acima, as abelhas fecham uma das bases do prisma com três losangos congruentes cujo ângulo agudo do losango, , mede aproximadamente 7032', o que dá origem