2014 1 AP1 Cálculo I Gabarito

Funda¸c˜ ao Centro de Ciˆ encias e Educa¸c˜ ao Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educa¸c˜ ao Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro

´
RESPOSTAS – AP1 – CALCULO
1 – 30/03/2014

Nome:

Matr´ıcula:

P´olo:

Data:
Aten¸c˜
ao!

• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula,
Polo e Data;
´
• E expressamente proibido o uso de calculadoras;
• Devolver a prova e a folha de respostas ao respons´avel;

• O desenvolvimento das quest˜oes pode ser a l´apis. No entanto, as respostas dever˜ao estar necessariamente `a caneta;
´
• E expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.

Quest˜ ao 1 [2 pontos]
Calcule os seguintes limites de fun¸co˜es:
(a) lim

x→4

4−x
√
5 − x2 + 9

(b) lim

x→4

(x2 + 2x) sen (x − 4) x2 − 16

Solu¸c˜ ao: √
√
4−x
5 + x2 + 9
(4 − x)(5 + x2 + 9)
4−x
√
√
√
=
(a) lim
= lim
·
= lim x→4 5 − x→4 16 − x2 x2 + 9 x→4 5 − x2 + 9 5 + x2 + 9
√
√
(4 − x)(5 + x2 + 9)
5 + x2 + 9
10
5
= lim
= lim
=
= x→4 x→4
(4 − x)(4 + x)
4+x
8
4
(b) lim

x→4

= lim

x→4

(x2 + 2x) sen (x − 4)
(x2 + 2x) sen (x − 4)
(x2 + 2x) sen (x − 4)
=
lim
=
lim
·
= x→4 x→4 x2 − 16
(x + 4)(x − 4)
(x + 4)
(x − 4)

(x2 + 2x) sen (x − 4)
· lim
=3
x→4
(x + 4)
(x − 4)

Quest˜ ao 2 [2 pontos]
Seja f a fun¸c˜ao definida por:

f (x) =










|x + 3|
,
x+3

se x < −3

x2 + 3x − 1, se −3 ≤ x < 2






 4 − |x| , se x ≥ 2

(a) Calcule lim + f (x) e lim − f (x). O que vocˆe pode concluir do lim f (x)? x→−3 x→−3

x→−3

(b) Calcule lim+ f (x) e lim− f (x). O que vocˆe pode concluir do lim f (x)? x→2 x→2

x→2

´
CALCULO
1

AP1

2

Solu¸c˜ ao: (a) Temos que:
• lim + f (x) = lim + x2 + 3x − 1 = −1; x→−3 x→−3

• lim − f (x) = lim − x→−3 x→−3

−(x + 3)
|x + 3|
= lim −
= lim − −1 = −1. x→−3 x→−3 x+3 x+3

Como lim + f (x) = −1 = lim − f (x), concluimos que lim f (x) = −1. x→−3 x→−3

x→−3

(b) Temos que:
• lim+ f (x) = lim+ 4 − |x| = lim+ 4 − x = 2; x→2 x→2

x→2

2

• lim− f (x) = lim− x + 3x − 1 = 9. x→2 x→2

Como lim+ f (x) = 2 = 9 = lim− f