19 complexos 2010 parte 01

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CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS – (PARTE 01–2010)
Professor Marcelo Renato M. Baptista
1. INTRODUÇÃO
Resolvendo a equação x 2  4x  5  0 , utilizando a fórmula de Bháskara, encontramos “delta” negativo e ...

4 4 x 
2



4  4  1 x 2



x
2

1 ,



onde concluímos que x  IR . Como (no conjunto dos números reais)

René Descartes (1596 – 1650) foi o primeiro matemático a chamar, informalmente,  1  i , entretanto, o matemático Leonhard Euler, em meados do século XVIII, de maneira mais sistematizada, passou a utilizar o símbolo “i ” para representar

 1 , ampliando os conjuntos numéricos, onde:






o conjunto representa os números Complexos; o conjunto representa os números Complexos Reais e este é subconjunto de ; o conjunto ( – ) representa os números Complexos Imaginários (Complexos não-Reais); todo número real é complexo, entretanto, nem todo número complexo é real;



o número 2   1  2  i , é um número complexo “não-real”, sendo i   1 a “unidade imaginária”;

2. UNIDADE IMAGINÁRIA
Para ampliar o conceito de número de modo que a radiciação seja sempre possível, definimos o número i, não-real, denominado unidade imaginária, que satisfaz a seguinte condição:

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não existem números na forma a  b   1 , foi criado o conjunto “ ”, para abrigar tais “números”, conforme esquematizado ao lado:

i2  1
Exemplo: Resolva a equação x 2  2 x  2  0 no campo dos números complexos.
Resolução:
  4 

  4

  4  1
  2i




x

2  2i
 x  1  i ou x  1  i



2

3. FORMA ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO: z  a  bi

 " a " é a parte real de z;
Onde a , b  IR , 
 " b " é a parte imagináriade z.
Exemplos: z  2  4i  Re(z)  2 e Im(z)  4



Obs.:





w  5i  Re(w )  0 e Im(z)  5



z1  0  k.i  , k  IR*

(imaginário puro)

Exemplo: z1  4 i

z2  (m  0.i), m  IR

(número real)