110594 AD1 CI 1 2006 gabarito

C´ alculo I
Gabarito da Avalia¸ c˜ ao a Distˆ ancia 1
1) Calcule os seguintes limites:
a) lim

x→−3

x3 − 7x + 6
= −10 ; x2 + 4x + 3

c) lim − x→−3 √

6 − x − x2 = 0 ;

b) lim

x→π/2

cos (2x) + 1
=0;
2x − π

d) lim √ x→−∞ 3−x
1
= .
2
5 + 4x2

2) Sejam f e g fun¸co˜es cont´ınuas definidas em todo o conjunto R. Sabendo que lim f (x) = +∞,

x→+∞

lim g(x) = 2, f (4) = 3, g(4) = −4, g(6) = −1 e f (6) = 7,

x→+∞

calcule os seguintes limites, usando as propriedades de limites.
a) lim

x→+∞

c) lim

x→6

f (x) + g(x) = +∞ ;

3 g(x) f (x)
= −3 ;
7

b) lim f (x) + 2 g(x) = 5 ; x→4 d) lim

x→+∞

f (x)
= −∞ . g(x) − 3

3) Seja f : R −→ R a fun¸ca˜o definida por

 2 sen πx ax + b f (x) =

x−2

se se se

x < 1/2,
1/2 ≤ x ≤ 3, x > 3.

Calcule os valores de a e de b, tais que f seja uma fun¸ca˜o cont´ınua. a lim − f (x) = lim − 2 sen π x = 2 = lim + f (x) = lim + a x + b = + b. x→1/2 x→1/2 x→1/2 x→1/2
2
a
Assim, b = 2 − .
2
a lim− f (x) = lim− ax + b = 3a + 2 − = lim+ f (x) = lim+ x − 2 = 1. x→3 x→3 x→3 2 x→3
Para que f seja cont´ınua em x = 3, temos
2
5a = −2 =⇒ a = −
5
e para que f seja cont´ınua em x = 1/2, temos b=2− 11
−2/5
ou seja, b =
.
2
5

N˜ao ´e necess´ario fazer o seguinte esbo¸co do gr´afico da fun¸ca˜o, f usando os valores de a e de b calculados.
1

2