07A Mod Mat Eq Lagrange

Modelagem Matemática de
Sistemas Mecânicos
Híbridos pela Mecânica
Lagrangiana

Introdução
Obtenção do modelo matemático de sistemas mecânicos híbridos (sistemas cujas massas executam movimentos de translação e rotação), a partir da aplicação das Equações de Lagrange
Estudo ficará restrito ao movimento de corpos rígidos no plano, também conhecido simplesmente por movimento plano

1

EQUAÇÕES DE LAGRANGE
Seja um sistema mecânico com n GDL, cujas coordenadas generalizadas são q1, q2, ... , qn
Energia potencial do sistema em um dado instante:
V = V(q1 , q2 ,..., qn )

Energia cinética do sistema em um dado instante:
.

.

.

T = T (q1 , q2 ,..., qn , q1 , q2 ,..., qn )

Lagrangiano do sistema:
Equações de Lagrange:

L = T −V d dt

∂L
.

∂ qi

−

∂L
= Qi ,
∂qi

i = 1, 2, ... , n

Qi = forças não-conservativas

Exemplo 1: Sistema mola-disco

O disco rola sem deslizar sobre o plano horizontal. Achar o modelo matemático usando a coordenada θ. d dt

∂L
.

∂ qi

−

∂L
= Qi ,
∂qi

V=

T=

i = 1, 2, ... , n

1 2 kx 2

.2
1 .2 1 .2 1 .2 1 1 mx + Jθ = mx + mr 2 θ
2
2
2
22

2

.2
1 .2 1 1
1
mx + mr 2 θ − kx 2
2
22
2

L = T −V =

.

x = rθ

L=

.2
.2
1
1 1
1
mr 2 θ + mr 2 θ − kr 2 θ 2
2
22
2

d dt i=1

.

x = rθ

∂L
.

∂ qi

−

∂L
= Qi ,
∂qi

i = 1, 2, ... , n

d ∂L
∂L
−
=0
. dt ∂θ
∂θ

q1 = θ

.
.
.
..
d ∂L d 1 d 3
3
= mr 2 θ+ mr 2 θ = mr 2 θ = mr 2 θ
.
dt dt 2 dt 2
2
∂θ
..
3 mr 2 θ+ kr 2 θ = 0
2

..

θ+

∂L
= −kr 2 θ
∂θ

2k θ=0 3m

Exemplo 2: Sistema carro-pêndulo simples
Deduzir o modelo matemático para pequenas oscilações θ d dt

V=
T=

L = T −V =

∂L
.

∂ qi

−

∂L
= Qi ,
∂qi

i = 1, 2, ... , n

1 2 kx + mgL − mgL cos θ
2

.2
.
.
1
1
M x + m x + L cos θ θ
2
2

.2
.
.
1
1
M x + m x + L cos θ θ
2
2

2

+

2

+

.
1
m − Lsenθ θ
2

.
1
m Lsenθ θ
2

2

−

2

1 2 kx − mgL + mgL cos θ
2

3

. d ∂L
∂L
= f(t) − c x
−
. dt ∂x
∂x

i=1

q1 = x

i=2

q2 = θ

.
.
. d ∂L d =
M x + m x + L cos θ θ
.
dt dt ∂x

d ∂L
∂L
=0
−
. dt ∂θ
∂θ

..

..

.2

..

= M x+ m x + mL cos θ θ− mLsenθ θ

∂L
=