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Cálculo do número \phi[editar]

Divisão em média e extrema razão. A partir de um segmento de 10 unidades, determina-se a sua seção áurea multiplicando-o por 0,618 (média). Para encontrar-se um segmento maior, em extrema razão, deve-se multiplicar as dez unidades iniciais por 1,618.
Definição algébrica[editar]
A razão áurea é definida algebricamente como: \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \phi\,.
A equação da direita mostra que a=b\phi, o que pode ser substituído na parte esquerda, resultando em:
\frac{b\phi+b}{b\phi}=\frac{b\phi}{b}\,.
Cancelando b em ambos os lados, temos:
\frac{\phi+1}{\phi}=\phi.
Multiplicando ambos os lados por \phi, resulta:
\phi+1=\phi^2.
Finalmente, subtraindo \phi^2 de ambos os membros da equação e multiplicando todas as parcelas por -1, encontramos:
\phi^2 - \phi - 1 = 0, que é uma equação quadrática da forma ax^2 + bx + c = 0, em que a=1,\ b=-1\ \mathrm{e}\ c=-1.
Agora, basta resolver essa equação quadrática. Pela Fórmula de Bháskara:
\phi = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\phi = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot{1}\cdot{(-1)}}}{2\cdot{1}}
\phi = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2}
\phi = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
A única solução positiva dessa equação quadrática é a seguinte:
\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803398875, que é o número \phi.
Sequência de Fibonacci[editar]

Representação da sequência de Fibonacci na Mole Antonelliana em Turim, Itália.
Como é um número extraído da sequência de Fibonacci, o número áureo representa diretamente uma constante de crescimento.
O número áureo é aproximado pela divisão do enésimo termo da Série de Fibonacci (0, 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,..., na qual cada número é a soma dos dois números imediatamente anteriores na própria série) pelo termo anterior. Essa divisão converge para o número áureo conforme tomamos cada vez maior. Podemos ver um exemplo dessa convergência a seguir, em que a série de Fibonacci está escrita até seu oitavo termo [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13]: