O que são Integrais?

O que são Integrais?

Em um post anterior, falamos aqui sobre a definição de derivada. Agora, chegou o momento de falarmos de suas contrapartes no Cálculo: as Integrais.

O problema da área
Um dos grandes problemas que sempre assolou os matemáticos do mundo antigo foi o de encontrar a área de figuras planas. Se a figura em questão fosse um polígono conhecido, como um retângulo ou um trapézio, bastava utilizar a fórmula correspondente. Mas e se a figura em questão fosse irregular – como são a maioria das figuras à nossa volta?

As primeiras tentativas de se determinar a área de tais figuras consiste justamente em dividí-las em outras figuras de área conhecida. Na figura abaixo, que bem poderia representar um terreno, não possuímos uma fórmula específica para o cálculo de sua área, mas podemos dividi-la em dois retângulos – o verde e o amarelo -, calcular a área de cada um deles e somar os resultados:

Cálculo da área de uma figura irregular através de sua divisão em polígnos conhecidos.

O problema maior ocorria quando a figura em questão possuía curvas ou círculos, pois o método acima não seria aplicável. Para resolvê-lo, o matemático grego Arquimedes criou o método da exaustão, o qual consiste em se inscrever uma série de polígonos regulares no círculo até ocupar – ou exaurir – a maior parte possível de sua área, donde se conclui que a área do círculo seria, pois, equivalente à área do polígono nele inscrito. Observando a ilustração abaixo, você poderá perceber, através da intuição, que a área de um círculo corresponde à área de um polígono de infinitos lados:

Calculando a área de um círculo pelo método da exaustão

Assim como a derivada serve para nos dar a inclinação de uma reta tangente ao gráfico de uma função em um determinado ponto, a integral serve para que descubramos qual a área entre o gráfico de uma função f, contínua e não negativa, e um intervalo [a,b] no eixo das abscissas.

A Integral Indefinida
Quando falamos simplesmente de