TRABALHO

Transformações lineares é uma transformação linear de V em W se:
a) T( u + v ) = T(u) + T(v)
b) T(αu) = α T(u) para e
OBS: uma transformação linear de V em V é chamada de operador linear.
Consideremos como base as canônicas do Rn
Exemplos:
1) , T(x,y) = ( 3x, - 2y, x – y )

2) , T(x) = 3x

3) , I(v) = v : transformação identidade
Contra exemplo:
1) , T(x) = 3x + 1

OBS: Em toda transformação linear, , a imagem do vetor é o vetor , isto é, T(0)=0.
PROPRIEDADE:
1) Se for uma transformação linear, então

para e
2) uma transformação linear, então
a) T(-v) = -T(v)
b) T(u – v ) = T(u) – T(v)
Exemplos:
1) Seja uma transformação linear e B ={v1,v2,v3} uma base para o Rn. Determinar T(5,3,-2), sabendo que T( = (1,-2), T(j) =(3,1) e T(k)=(0,2).

2) Consideremos o operador linear , definido por
T(x,y,z) = (x + 2y +2z, x + 2y – z, -x + y +4z)
a) Determinar o vetor tal que T(u) = (-1, 8, -11).

b) Determinar o vetor tal que T(v) = v.
T(x,y,z) = (x + 2y +2z, x + 2y – z, -x + y +4z)

3) Sabendo que é uma transformação linear e que T(1,-1) = (3,2,-2) e T(-1,2) = (1,-1,3), determinar T(x,y).

Núcleo de uma transformação linear
Dada uma transformação linear, ao conjunto de todos os vetores que são transformados em , chama-se núcleo de T. Ou seja,

OBS: e N(T) ≠ { }, pois .
Exemplos:
1) Determine o núcleo das transformações lineares:
a) , T(x,y)=( x+y , 2x – y)

b) , T(x,y,z) = (x –y +4z, 3x + y +8z)

Imagem de uma transformação linear
Dada uma transformação linear chama-se imagem de t ao conjunto dos vetores que são imagens de pelo menos um vetor . Isto é:

Exemplos:
1) , T(x,y,z) = (x,y,0) a projeção ortogonal do R3 sobre o plano xy. A imagem é o próprio plano xy. z v = (x,y,z) y