Volumes matematica

Definição Geral de Volume

A idéia intuitiva de volume de um sólido, como o "número de vezes" que esse sólido contém o volume de um cubo unitário, conduz diretamente a uma fórmula para o cálculo do volume de um bloco retangular.

Mas como fazemos para calcular o volume de sólidos que não são tão regulares como os blocos retangulares?

Como foi dito anteriormente, é necessário possuirmos uma definição mais precisa daquilo que entendemos por "volume de um sólido". Nosso objetivo é chegar a uma tal definição geral.

Este desenho ao lado mostra um bloco retangular. (Trata-se da reprodução simplificada de uma casa que realmente existe)

Chamaremos P a um sólido formado pela reunião de um número finito de blocos retangulares justapostos. Para obter seu volume basta somar os volumes dos blocos retangulares que o constituem.

Dado um sólido S, desejamos definir precisamente o número vol(S), ou seja, queremos dar um significado exato à idéia inicial, segundo a qual vol(S) é o número que exprime quantas vezes S contém o cubo unitário.

Para cada P contido em S, sabemos calcular vol(P). O número V = vol(S), que estamos procurando, deve satisfazer à condição

vol(P) V para todo sólido P contido em S.

Os números vol(P), volumes de P contidos em S, fornecem aproximações inferiores pra o volume de S. Acrescentando mais blocos retangulares a P, sempre tendo o cuidado de permanecer dentro de S, obteremos um sólido P', maior do que P, e vol(P') será uma aproximação melhor para vol(S).

Queremos que seja possível aproximar vol(S) com tanta precisão quanto se deseje por volumes de sólidos contidos em S. Esta exigência equivale a requerer que vol(S) seja o número real cujas aproximações por falta são os volumes dos sólidos contidos em S.

r < vol(Q) vol(S).

Observação. (Aproximação por Excesso) Seja S um sólido cujo volume desejamos calcular. Podemos, ainda, considerar os sólidos Q que contêm o sólido S. Sabemos calcular o volume de cada um